Las ecuaciones de Viète se utilizan en algunas demostraciones del problema de Basilea, que supuestamente fue resuelto por Euler.
Las ecuaciones de Viète incluyen lo siguiente: dado un polinomio,
$$ a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + ... + a_nx ^ n $$ con raíces $ \ alpha_1, \ alpha_2, ... \ alpha_n, $
$$ a_ {n-1} = -a_n \ , (\ alpha_1 + \ alpha_2 \, + ... + \, \ alpha_n). $$
Esto se puede aplicar a un polinomio de la forma:
$$ b_0 - b_1 \, x ^ 2 + b_2 \, x ^ 4- \ cdots + (- 1) ^ n \, b_n \, x ^ {2n}, $$
en cuyo caso encontramos que,
$$ b_0 - b_1 \, x ^ 2 + b_2 \, x ^ 4- \ cdots + (- 1) ^ n \, b_n \, x ^ {2n} = b_0 \ left (1- \ frac {x ^ 2} {\ beta_1 ^ 2} \ right) \, \ left (1- \ frac {x ^ 2} {\ beta_2 ^ 2} \ right) \, \ cdots \, \ left (1- \ frac {x ^ 2} {\ beta_n ^ 2} \ right). $$
Y,
$$ b_1 = b_0 \, \ left (\ frac {1} { \ beta_1 ^ 2} \ right) + \, \ left (\ frac {1} {\ beta_2 ^ 2} \ right) \, + \ cdots + \, \ left (\ frac {1} {\ beta_n ^ 2} \ derecha). $$
Esta forma permite expresar el segundo coeficiente en:
$$ \ frac {sin (x)} {x} = 1 - \ frac {x ^ 2 } {2 \ cdot 3} + \ frac {x ^ 4} {2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5} - \ frac {x ^ 6} {2 \ cdot3 \ cdots7} + \ cdots $$
como
$$ \ frac {1} {2 \ cdot3} = \ frac {1} {\ pi ^ 2} + \ frac {1} {4 \ pi ^ 2} + \ frac { 1} {9 \ pi ^ 2} + \ cdots. $$
La pregunta es si Euler realmente recurrió a las ecuaciones de Viète, y qué tan grande es la figura matemática del nombre de Viète por derecho propio.