Pregunta:
¿Cuándo y por qué se creó / estudió la geometría inversa?
PhD
2018-10-17 08:40:53 UTC
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He estado revisando las matemáticas desde mi escuela secundaria hasta mi licenciatura. Elegí el excelente ¿Qué son las matemáticas? De Courant?

Hasta ahora, el flujo está bien. Sin embargo, en uno de los capítulos introduce la inversión, principalmente w.r.t. el círculo. Esto pareció un poco brusco, especialmente porque nunca conocí este concepto. Soy consciente de la asignación de planos a esferas con fines topológicos, etc.

Lo que trato de comprender es por qué se investigó esto y quién lo inició. Algunas referencias (buscar en Google) apuntan a Apollinius de Perga y luego saltan directamente a alguien en 1911.

La fórmula para la inversión de círculos:

$ OP \ cdot OP '= r ^ 2 $

Donde $ O $ es el centro y $ P $ es un punto dentro del círculo y $ P '$ el inverso .

Esta fórmula parece bastante artificial y no tiene sentido intuitivo para mí. ¿Por qué se usa esta fórmula y quién investigó la inversión y con qué propósito? ¿Alguna referencia interesante?

One responder:
Francois Ziegler
2018-10-17 11:48:39 UTC
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La página wiki y los enlaces parecen buenos, excepto quizás en el historial. Para eso, ver p. Ej. Coolidge ( 1940, págs. 278-282):

§2. Transformaciones circulares.

Las transformaciones puntuales del plano que llevan puntos en una línea o círculo a puntos en una línea o círculo, son seguramente las transformaciones de plano más simples e interesantes, después de las lineales . La más simple de ellas es la inversión circular (...) $$ OP.OP '= r ^ 2, \ qquadx' = \ frac {r ^ 2x} {x ^ 2 + y ^ 2}, \ qquady '= \ frac {r ^ 2y} {x ^ 2 + y ^ 2}. $$ Vimos ( págs. 64-65) que esta transformación fue mencionado por primera vez por Pappus , quien sabía que llevaba una línea o círculo a una línea o círculo. Ha sido descubierto posteriormente por varios escritores, siendo el primero quizás Steiner (en) un manuscrito inédito (...)

Es realmente asombroso lo que se puede lograr con el uso de esta transformación. Si dos círculos se cruzan, se pueden invertir en dos líneas rectas. Si se tocan, se pueden invertir en dos líneas paralelas. Si no tienen un punto común, podemos encontrar dos círculos que se cruzan cortándolos a ambos ortogonalmente. Por lo tanto, podemos invertir los dos primeros en dos círculos que cortan dos líneas que se cruzan ortogonalmente, es decir, en dos círculos concéntricos. Las propiedades de los sistemas de círculos tangentes a dos círculos dados se encuentran más fácilmente mediante estas transformaciones.

(De ahí la relación con el problema de Apolonio).

La inversión circular es la más simple de todas las transformaciones que llevan una línea o círculo a una línea o círculo. El primer escritor en emprender un estudio sistemático de las transformaciones así definidas, y por medios puramente geométricos, fue Möbius en su Theorie der Kreisverwandschaft que apareció en 1855 (:)

Teorema 4 de Möbius] Cada transformación uno a uno del euclidiano El plano que lleva puntos de una línea o círculo a puntos de una línea o círculo se puede factorizar en reflejos e inversiones y es conforme.

(...) Eso nos permite escribir el forma analítica para la transformación $$ z '= \ frac {\ alpha z + \ beta} {\ gamma z + \ delta} \ qquad \ text {(2a)}, \ qquadz' = \ frac {\ alpha \ bar z + \ beta} {\ gamma \ bar z + \ delta} \ qquad \ text {(2b)}, \ qquad (\ alpha \ delta- \ beta \ gamma \ ne0). $$ span>

(es decir, uno de dos tipos, donde $ z = x + iy $ ; etc.) Anteriormente Coolidge había escrito en ( 1916, p. 22):

Esta transformación generalmente se atribuye a Plücker. Véase su Analytisch-geometrische Aphorismen , Crelle, vol. xi, 1836. Fue redescubierto una década más tarde por Sir William Thompson, Principe des images électriques , Liouville, vol. x, 1845. La opinión más reciente, sin embargo, parece ser que Steiner encontró el método hace algún tiempo.

Por cierto, pedí el libro que vinculó anteriormente la semana pasada y aún no ha llegado. Me alegro de haberlo hecho. Esta es una respuesta muy útil. Le agradezco que se haya tomado el tiempo para escribir esto.


Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 4.0 bajo la que se distribuye.
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