La respuesta a la pregunta del título es Poincaré , en la misma nota Sur l'Analysis situs (1892) donde presentó por primera vez el grupo fundamental. Cf. la descripción de “Saint-Gervais”:

Ahora Poincaré da su definición del grupo fundamental. Con este fin, comienza casi copiando su artículo de 1883 que acabamos de comentar. ¡Pero ahora presenta un grupo! En otras palabras, define la cobertura universal como antes, pero el grupo fundamental hace su aparición como un grupo de permutación de la fibra por encima de un punto : el grupo de automorfismo de la cobertura universal .

Ver también Sarkaria ( 1999, p. 144 ), nota 20 refiriéndose a §12 de Analysis Situs (1895):

Poincaré da cuatro enfoques a sus grupos $ g $ y $ G $. En primer lugar, como todas las transformaciones de mazo de un espacio de cobertura sobre $ M $ (...) En segundo lugar, su definición de ecuaciones diferenciales (...) En tercer lugar, su definición usando “ loops ”,“ equivalencias ”y“ lacets ”(...) Por último, en §13, para cualquier $ M $ obtenido de un politopo por conjugaciones de facetas, Poincaré define $ \ pi_1 (M) $ a través de algunos simples y elegantes (pero intrigantes) relaciones cíclicas.

Nota agregada: Por supuesto, en los espacios generales las cuatro definiciones de Poincaré dejan de ser equivalentes. El enfoque de Grothendieck de apegarse al primero , evitando así los bucles, probablemente se origina en Chevalley ( 1946), quien lo utilizó "siguiendo una sugerencia de H. Cartan ”(Dieudonné 1989, p. 300). También se adopta en p. Ej. Ganea ( 1951), Souriau ( 1964, §10 + Nota II), Kennison ( 1989), etc.

La idea de una relación entre grupos fundamentales y permutaciones de la cobertura universal es muy anterior a Grothendieck y SGA. Ya aparece implícitamente en el trabajo de Riemann sobre superficies complejas en el siglo XIX. En Cauchy y Puiseux: dos precursores de Riemann, Papadopoulos incluso menciona a autores anteriores, especialmente a Puiseux:

" Riemann definió estas superficies como revestimientos ramificados del plano ( más precisamente, de la esfera de Riemann) .El trabajo de Puiseux sobre funciones algebraicas, interpretado desde un punto de vista topológico, contiene en esencia la combinatoria de tal superficie, dando una descripción de cómo sus láminas se permutan sobre un punto de ramificación, y estableciendo la relación precisa entre esta permutación de hoja y la naturaleza de las singularidades de la ecuación algebraica. Al mismo tiempo, el trabajo de Puiseux hace la relación con la teoría de grupos. A costa de ser anacrónica, mencionemos que la teoría de Puiseux expresa la el llamado homomorfismo de monodromía del grupo fundamental de la esfera de Riemann con un conjunto finito eliminado (el conjunto singular de la ecuación algebraica) en el grupo de permutación en $ d $ símbolos. "

El paso técnico clave, el teorema de elevación de la trayectoria, fue realizado por Weyl en 1913, y el desarrollo completo se debe al clásico Lehrbuch der Topologie de Seifert y Threlfall. Aquí está la descripción de Dieudonné de Una historia de topología algebraica y diferencial 1900-1960, p.296-7:

" Es muy probable que Poincaré y sus sucesores inmediatos, como Tietze y Dehn, conocían ese teorema, incluso si no lo formularon explícitamente (¡y mucho menos intentaron probarlo!). Fue establecido y probado para superficies por H. Weyl en 1913 [483] En 1928, Reidemeister publicó un breve artículo sobre grupos fundamentales y espacios de cobertura [386] en el que solo consideraba las variedades combinatorias. Deploró el hecho de que, a excepción de la dimensión 2, no se disponía de un tratamiento previo de estas cuestiones. De hecho, su propio tratamiento se limita a la dimensión 3, aunque afirma que podría generalizarse a cualquier dimensión; está escrito en el estilo de Poincaré, sin pruebas genuinas, y no se menciona el teorema del levantamiento de la trayectoria.

No fue hasta 1934 que, en su libro [421], Seifert y Threlfall dio una admirable y minuciosa elaboración de las relaciones entre los grupos fundamentales y los espacios de cobertura basados ​​en el teorema de la elevación de la trayectoria: aunque limitado a complejos simpliciales localmente finitos (de cualquier dimensión), es esencialmente definitivo y puede extenderse a espacios más generales. con solo modificaciones menores.

De acuerdo con la respuesta de Theo Buehler en Etimología del nombre "transformación de mazo" hilo en Math SE, el término "mazo "también se debe a Seifert y Threlfall. Hablan de Deckbewegungsgruppe, literalmente, grupo de movimientos de cobertura (del alemán decken, cubrir). Reidemeister las llamó permutaciones transitivas del grupo fundamental. El lenguaje de los "automorfismos de un funtor de fibra" es, por supuesto, específico de Grothendieck.