Stillwell ofrece algunos detalles en Matemáticas y su historia. En términos modernos, Newton hizo una transformación general de ejes reduciendo el cúbico general a cuatro tipos de ecuaciones, y luego los clasificó en "especies" según las raíces de los polinomios del lado derecho.

" Su artículo no contiene pruebas detalladas; estas fueron proporcionadas por Stirling (1717), junto con cuatro de las especies que Newton había pasado por alto. La clasificación de Newton fue criticada por algunos matemáticos posteriores, como Euler, por carecer de un principio general. Un principio unificador era ciertamente deseable, para reducir la complejidad de la clasificación. Y tal principio ya estaba implícito en uno de los comentarios de paso de Newton, Sección 29, "Sobre la génesis de las curvas por las sombras . ”"

El principio que Stillwell tiene en mente es la clasificación proyectiva sobre el campo complejo, pero eso es "implícito" de hecho, no es de extrañar que Euler lo haya pasado por alto. Guicciardini en Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method comenta que "el lector no está informado sobre los métodos que utilizó Newton" y da ejemplos de las afirmaciones de Newton "sin rastro de demostración", que el comentario de Stirling de 1717 completa. Supongo esto explica las lagunas. Cayley ofrece una descripción más detallada y menos retrospectiva, así como una comparación con Plücker, en su On Classification of Cubic Curves (1864) reproducida en el volumen 5 de sus Collected Mathematical Papers:

" La clasificación es según la naturaleza de las ramas infinitas; hay catorce géneros que contienen juntas setenta y dos especies, pero Stirling agregó cuatro especies en su Linere Tertii Ordinis Newtoniare; sive Illustratio &c (1717) , y dos más de Murdoch o Cramer [Nota a pie de página de Cayley: Creo que las dos especies adicionales se mencionan por primera vez en el Génesis Curvarum per Umbras de Murdoch (1746), pero una de ellas se atribuye a Cramer] , haciendo en las setenta y ocho especies.Una nueva clasificación fue hecha por Plücker en su System der Analytischen Geometrie, 1835; esto es igualmente de acuerdo con la naturaleza de las ramas infinitas, pero después de sus seis divisiones principales, y algunas divisiones subordinadas de las mismas, Plücker establece las divisiones llamadas Grupos, que no tienen nada análogo a ellas en la teoría newtoniana; hay sesenta y un grupos, y el número total de especies es 219. "

Si de verdad quieres ahondar en ello hay un comentario muy detallado de Rouse Ball en On Newton's Classification of Cubic Curves (1890), que detalla cómo " cuatro formas o casos canónicos se dividen en siete (o seis) clases. Estas clases se subdividen en catorce (o trece) géneros, que contienen las setenta y ocho especies, de las que sin embargo se excluyen las formas degeneradas de una cónica y una recta y de tres rectas ", y también nos dice que

" Cramer, en su Introducción a l'Analyse des Lignes Courbes Algebriques, publicado en Ginebra en 1750, y Euler, en su Analysis Infinitorum, publicado en Lausanne en 1748, propuso clasificar curvas únicamente por referencia al carácter de sus puntos infinitamente distantes. Ambos se negaron a reconocer las diversas curvas formadas por la degeneración de un óvalo en un acnodo, o su fusión con otras ramas de la curva, como si fueran especies distintas. "