Pregunta:
¿Cómo podía estar segura la gente del pasado de que a * b = b * a?
user4633
2016-08-31 00:17:01 UTC
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Permítanme citar del "Análisis 1" de Terence Tao:

Histocialmente, la comprensión de que los números pueden tratarse axiomáticamente es muy reciente, no tiene mucho más de cien años.

Entonces, ¿cómo podrían las personas que vivieron antes de la axiomatización de los números reales estar seguras de que, por ejemplo, a por b siempre es igual a b por a? Porque, en ese entonces, tenían un conjunto de axiomas a partir de los cuales podían probar cosas y, por lo tanto, tampoco tenían una noción de prueba rigurosa. ¿Significa esto que simplemente observaron el patrón de que si tomaban dos números concretos, no importaba si decían "la primera vez el segundo" o "la segunda vez el primero"; y debido a esta observación asumieron a * b = b * a sin una prueba?

supongo que su observación se basa en el hecho de que el concepto de número cambió radicalmente en el siglo XIX, en algún Pont -ni siquiera intentaré decir cuándo- el concepto de número fue despojado de las nociones de cantidad y magnitud. antes de eso, un número era un número * de * algo. no se necesitan axiomas puramente matemáticos para saber que 3 vacas más 2 cerdos es lo mismo que 2 cerdos más 3 vacas.
@mobil: mhm, la adición es algo más simple que otras operaciones. En este hilo, di el ejemplo de conmutatividad de la multiplicación de números reales. Pero también se podría preguntar: ¿cómo se aseguraron de que a (b + c) = ab + ac sin axiomas?
Estás preguntando cómo sabían que [una expresión algebraica] era cierta sobre los matemáticos que son significativamente anteriores al álgebra. La comutividad como propiedad era probablemente una suposición implícita de la aritmética derivada de la agrupación de objetos físicos (como la forma en que enseñamos aritmética a los niños) y ni siquiera reconocida formalmente hasta el advenimiento del álgebra simbólica.
Excelente pregunta y muy buen ejercicio de pensamiento histórico. no podemos utilizar el pensamiento axiomático para explicar sus caminos, so pena de anacronismo. Entonces, ¿cómo pensaron? No estoy seguro, pero sospecho que la respuesta involucrará nociones de procedimiento, lo cual carece notoriamente en las presentaciones axiomáticas. tomar 2 cerdos y 3 vacas; Te doy 5 dinares por cada cabeza: 25 dinares. Versus: te daré 5 dinares por cada uno de esos 2 cerdos, y luego te daré 5 dinares por cada una de esas 3 vacas. Mismo resultado, que se puede verificar con solo mirar. no se necesita teoría.
Incidentalmente, el primer libro de álgebra (de al-khwarizmi) funciona así. un punto clave es que las ecuaciones NO involucran igualdad numérica; más bien implican equivalencia de valor: eso es lo que hace que 3 vacas más 2 cerdos sean intercambiables, el valor de cerdos y coes, no la igualdad de los números involucrados.
PD. una cosa más. Lo mismo se aplica a Euclides una geometría. puede agregar ángulos a ángulos y puede agregar longitudes a longitudes, pero no puede agregar ángulos a longitudes.
Entonces preguntamos: ¿cómo pueden estar seguros de que esa "área" tiene sentido? Calcule el área de un rectángulo de dos formas diferentes, $ ab $ y $ ba $, ¿podríamos quizás obtener respuestas diferentes?
¿Cómo puede la gente estar segura hoy de que $ ab = ba $ sin pruebas? Si es un axioma, entonces no puede haber pruebas y no somos mejores que nuestros antepasados. No hubo una noción moderna de números reales hasta bien entrado el siglo XIX, que es aproximadamente al mismo tiempo que se desarrollaron las nociones axiomáticas, por lo que la pregunta es discutible, consulte http://hsm.stackexchange.com/questions/2740/when-did -se-se-entiende-que-los-números-irracionales-tienen-decimales-no-repetidos / 2743 # 2743 Pero incluso para los enteros positivos, ¿por qué la gente necesitaría "pruebas" para saber cómo usarlos? Tampoco tenían pruebas de que el agua fluye cuesta abajo.
Tu perplejidad no tiene sentido. ¿Se pregunta cómo los niños pueden saber hablar un idioma correctamente sin poder articular las reglas gramaticales del idioma, o cómo Euler podría usar el cálculo sin una definición de límite?
[Contando los guijarros] (https://books.google.it/books?id=2gLPbFKwY5EC&pg=PA86&lpg=PA86&dq=counting+with+pebbles&source=bl&ots=W0C1FPY7qH&sig=LPHTv9qQKmaxCg1YKPxOXtEUr9Y&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwiX-ZyH2uvOAhXJPhQKHengCHgQ6AEIPTAJ#v=onepage&q= contando% 20 con% 20 guijarros & f = falso) en un arreglo rectangular de $ b \ multiplicado por $ guijarros.
@Gerrald Edgar: buena pregunta. pero creo que el rompecabezas se crea al tratar los números como entidades abstractas. para Euclides sospecho que la respuesta sería simple: ab = ba porque ayb son lados del mismo rectángulo, que no puede tener dos áreas diferentes. no eran números abstractos sino magnitudes * de * algo, en el caso, los lados de un rectángulo.
@mobileink Para Euclid no habría ninguna duda, porque ab o ba * es * el rectángulo. Como diríamos hoy, incorpora la conmutatividad a su lenguaje, por lo que esta identidad se vuelve superflua. Es la coordinación de la geometría lo que llevó a la introducción de distinciones entre figuras que son geométricamente inexistentes, y luego a la introducción de congruencias, para descartar esas distinciones.
Dos respuestas:
Jonathan Cast
2016-08-31 19:51:03 UTC
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La multiplicación, antes de la invención del álgebra moderna (axiomática), se definía como la operación que da el área de un rectángulo con lados de una longitud particular. 1 Conmutatividad de la multiplicación se sigue de dos axiomas:

  • Las figuras geométricas congruentes tienen áreas iguales
  • Cualquier figura geométrica reflejada a través de una línea es congruente con la figura original

y la observación de que reflejar un rectángulo a través de una línea a través de una esquina en un ángulo de 45 grados desde los dos lados cambia los roles de los lados del rectángulo, por lo que el lado que antes correspondía a $ a $ en la figura ahora corresponde a $ b $ y viceversa. Dado que el primer rectángulo corresponde a $ a * b $ y el segundo rectángulo corresponde a $ b * a $, y tienen la misma área, $ a * b = b * a $.

Nota: la La intuición geométrica detrás de esta prueba todavía se usa hoy, en la prueba en la teoría de conjuntos de que $ | A \ times B | = | B \ veces A | $. (La prueba inductiva regular que puede haber visto para números enteros funcionaría para conjuntos finitos, pero para conjuntos infinitos es más fácil hacer una prueba 'geométrica' directa).

1 Por ejemplo, Euclides establece el teorema que hoy declararíamos como "el área de un triángulo con altura $ h $ y base $ b $ es $ \ frac {1} {2} bh $ as "Si un paralelogramo y un triángulo están en la misma base y en los mismos paralelos, el paralelogramo es el doble del triángulo", es decir, "el área de un triángulo con altura $ h $ y base $ b $ es la mitad del área de un paralelogramo con la misma altura y la misma base ". Arquímedes va un paso más allá y establece el teorema" el área de un círculo con radio $ r $ es $ \ pi r ^ 2 $ "(que fue el primero en probar) como" El área de cualquier círculo es igual a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados alrededor del ángulo recto es igual al radio y el otro al circunferencia, del círculo ", es decir," el área de un círculo es $ \ frac {1} {2} rC $ ". Tenga en cuenta que $ \ frac {1} {2} rC = \ frac {1} {2} r \ pi D = \ frac {1} {2} r \ pi 2r = \ pi r ^ 2 $ ", pero es evidente que Arquímedes carece del lenguaje para expresar su resultado de esa forma.

Si bien creo que esta respuesta es correcta (basado en mi conocimiento limitado de la historia matemática), sería útil si pudiera citar una referencia de apoyo.
@njuffa: Traté de encontrar documentación histórica; Intentaré encontrar más cuando salga del trabajo
No, no estaba "definido", y no hubo "axiomas" aritméticos hasta el siglo XIX. Había una noción de sentido común perfeccionada por los matemáticos y varias técnicas de cálculo. Reafirmar los teoremas de Euclides en notación moderna altera significativamente sus significados. Por ejemplo, para Euclides el "producto" era el rectángulo construido sobre ayb, por lo que en sus términos la cuestión artificial de si $ ab = ba $ ni siquiera surge, ciertamente no volteó rectángulos para "probarlo".
@Conifold: +1. Euclides ciertamente tenía algo como nuestros "axiomas", pero eran geométricos (por ejemplo, dos puntos forman una línea), no aritméticos.
Laurent Duval
2016-09-03 02:39:12 UTC
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Formar una serie de conferencias que escuché sobre matemáticas "árabes / islámicas" (especialmente Al Khawarizmi), una motivación práctica para completar el cuadrado (que produjo el algoritmo para resolver la ecuación de segundo grado) podría haber Ha sido (muy putativo) la estimación de la cantidad de azulejos necesarios para ampliar un palacio con una cierta longitud de muros.

Al menos para números enteros, colocar baldosas cuadradas en un suelo rectangular proporciona una intuición natural de lo que el producto se desplaza. Puede colocar baldosas de este a oeste o de sur a norte y obtener el mismo suelo.



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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