El teorema es que cualquier función continua en un compacto es uniformemente continua. Se llama "Heine" y, a veces, también teorema de "Heine-Cantor".
Mi pregunta es: ¿cuál es la contribución de Cantor a este teorema? ¿Lo demostró Heine después de Cantor o siguiendo las ideas de Cantor? ¿Fue probado ante Heine y Cantor?
Heine publicó por primera vez una definición explícita de continuidad uniforme en Über Trigonometrische Reihen (On Trigonometric Series), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), págs. 353–365. Y dos años más tarde publicó una prueba de que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua allí en Die Elemente der Functionenlehre (Elelements of Function Theory), Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172-188 . Sin embargo, como Rusnock y Kerr-Lawson señalan en Bolzano and Uniform Continuity: " Sin embargo, no reclamó originalidad en estos documentos, y resulta que su prueba es una transcripción casi literal de uno dado por Dirichlet en sus conferencias sobre integrales definidas en 1854 ". Además, argumentan:
" La preocupación de esta nota, sin embargo, es establecer que Bolzano tiene un derecho legítimo a la prioridad. Tenemos la intención de mostrar, en particular, que no solo entendió la noción de continuidad uniforme pero también dio una caracterización adecuada del concepto, estableció y demostró el Teorema 2 [una función puede ser continua en un intervalo abierto sin ser uniformemente continua allí], y estableció el Teorema 1 ["Heine's"] además de proporcionar un fragmento útil de su prueba. "
Sinkevich ofrece más detalles sobre el papel de Cantor en la génesis del concepto y el teorema en Sobre la historia de la epiloncia:
" En 1872, Eduard Heine en« Die Elemente der Functionenlehre »dio una definición del límite función utilizando las secuencias fundamentales de Cantor. Cada secuencia convergente se representó como la suma de su límite y la secuencia elemental (decreciente). Sobre esta base, Heine f formula la condición de continuidad, la definición de uniforme continuidad en términos de $ \ epsilon- \ delta $, el teorema de funciones uniformemente continuas y como método de prueba del lema de cobertura. El teorema de la continuidad uniforme era necesario para los intervalos entre el número irracional y su límite, el número racional. (Fue formulado por Cantor, como escribió Heine. Ahora es el teorema de Cantor-Heine). "