Pregunta:
¿Existe una distinción formal entre infinitos potenciales y reales?
Wilhelm
2018-02-02 19:28:58 UTC
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En la teoría de conjuntos moderna, la diferencia entre el infinito real y el infinito potencial a menudo no se comprende o incluso se niega. Hace algunas décadas, sin embargo, matemáticos como Hilbert o Poincaré, y mucho menos Cantor o Fraenkel, eran plenamente conscientes de la diferencia. Mi pregunta: ¿Existe una definición formal de infinito potencial en contraste con el infinito real, y quién fue el primero en darlo?

Un casi duplicado es: https://math.stackexchange.com/questions/1351529/can-we-formally-distinguish-between-actual-and-potential-infinities. Además, me parece que la noción habitual de 'conjunto computable' (= 'conjunto recursivo') es un buen candidato para la noción habitual moderna de 'conjunto potencialmente infinito', en un vago sentido filosófico.
Es solo este punto de vista erróneo, expresado en una respuesta votada a favor allí, que deseo revelar como tal. Evidentemente hay un abismo entre olla. y actuar. y de ninguna manera identidad matemática. Por ejemplo, es imposible definir un número real mediante una secuencia de dígitos potencialmente infinita.
Gracias por aclararlo; para aclarar a su vez: no quise implicar ninguna evaluación del contenido del hilo que vinculé. Simplemente quise agregar contexto y aumentar la conectividad de SE.
El infinito 'real' es más fuerte que el 'potencial' y en ZF el Axioma del Infinito afirma la existencia de un conjunto infinito. Sin embargo, el análisis funciona bien usando solo elementos finitos 'arbitrariamente grandes' (o pequeños) que es equivalente al infinito potencial pero logra evitar incluso su mención. Quizás no se necesite realmente una distinción formal.
Generalmente se considera que las axiomatizaciones intuicionistas / constructivistas de las matemáticas expresan el infinito potencial, mientras que las (ahora) clásicas expresan el infinito real. Por lo tanto, no se puede tener una distinción formal dentro de la "teoría de conjuntos moderna" (ZFC, supongo), hay que modificar formalmente algunos de sus axiomas, e incluso el marco lógico subyacente.
@Conifold: Creo que un lenguaje más desarrollado puede definir uno más primitivo. El lenguaje de ZFC incluso puede rechazar el axioma del infinito. Además, ZFC no define realmente el infinito real. Al menos el axioma de infinito no produce aleph_0.
@sand1: En ZFC, el axioma del infinito afirma el infinito potencial. Interpretarlo como infinito real es injustificado, aunque se puede argumentar con el axioma de extensionalidad. Estoy completamente de acuerdo contigo y con Hilbert en que para un análisis el infinito potencial es completamente suficiente. Parece que Zermelo y Fraenkel se han equivocado allí: "Aquellos que realmente se toman en serio el rechazo del infinito actual en matemáticas deberían ... prescindir de todo el análisis moderno" (Zermelo). "Si el ataque al infinito tiene éxito ... sólo quedarán restos de matemáticas" (Fraenkel).
Si quiere ser técnico al respecto, no existe el infinito en las matemáticas modernas. Una colección se llama infinita si se puede poner en biyección con un subconjunto estricto de sí misma, pero "infinito" se considera mejor como una forma en que las personas interpretan esa propiedad que como algo que realmente se está definiendo.
@Stella Biderman: Hay un conjunto infinito dado por el axioma del infinito. La única cuestión es cómo distinguir el infinito potencial requerido en el análisis del infinito real de la teoría de conjuntos. Eso es una cuestión de interpretación, no el hecho de que las matemáticas se basan en gran medida en el infinito.
@Wilhelm El axioma del infinito establece que existe un conjunto que está en biyección con un subconjunto estricto de sí mismo.
@Stella Biderman: El axioma del infinito no dice nada sobre las funciones biyectivas. Véase, por ejemplo, la pág. 45 de https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
@Wilhelm Supongo que eso depende de cómo quieras escribirlo. La forma en que lo haría bien involucraría funciones biyectivas.
@Stella Biderman: Me refería a la formulación original de Zermelo y la forma habitual en que se expresa el axioma. Pero me interesaría tu enfoque.
Me tomó diez segundos leer la entrada de Wikipedia para poder resumir esta controversia como "un montón de pajas". Niego categóricamente que este argumento tenga algún valor funcional dentro de las matemáticas.
@Wilhelm No sé, no es así como lo hicimos en mis cursos. No puedo hablar de lo que es común más allá de los grupos con los que estoy familiarizado.
@Conifold Infinity es banana, lea aquí, por favor (aunque el problema aún no se ha completado, seguro. Https://groups.google.com/forum/#!topic/sci.math/Kw14wMHdwB8
@wilhelm Lo siento señor, pero estaba teniendo problemas para entender su primer comentario. ¿Está afirmando que "es imposible definir un número real mediante una secuencia potencialmente infinita de dígitos", o está afirmando que esta es una visión errónea?
Cuatro respuestas:
Mauro ALLEGRANZA
2018-02-02 20:38:48 UTC
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No es "formal" pero sí bastante preciso: Aristóteles y apeiron .

Ver Meta , Libro IX ($ \ Theta $), 1048b10:

Se dice que el infinito y el vacío y todas las cosas similares existen potencialmente y de hecho en un sentido diferente al que tienen muchos otros se dice que las cosas existen, por ejemplo lo que ve o camina o es visto. [...] Pero el infinito no existe potencialmente en el sentido de que alguna vez tendrá una existencia separada; su separación está solo en el conocimiento. Porque el hecho de que la división nunca deja de ser posible da como resultado que esta actualidad existe potencialmente, pero no que existe por separado.

Y Phys , Libro III, 4, 206b17:

Por adición, entonces, también, existe potencialmente un infinito, es decir, lo que hemos descrito como siendo en cierto sentido lo mismo que el infinito con respecto a la división. Porque siempre será posible llevar algo ab extra . Sin embargo, la suma de las partes tomadas no excederá cada magnitud determinada, así como en la dirección de la división se supera toda magnitud determinada y siempre habrá una parte menor.

Y 207a32:

Es razonable que no se deba considerar que existe un infinito con respecto a la suma que supere toda magnitud.

Gracias, pero muchos "matemáticos modernos" no entenderán esto, o lo descalificarán como puramente filosófico. Lamentablemente, la mayoría de ellos ha perdido la capacidad de comprender textos distintos del formalizado.
@Wilhelm ¿Puede proporcionar una base para esta afirmación?
"On the Infinite" de Hilbert es otro clásico que no puedo resistirme a mencionar aquí. Termina diciendo que "la lógica por sí sola no es suficiente" y explica su postura kantiana.
@ José Carlos Santos: Con mucho gusto, más que muchos. Pero el espacio es limitado. Vea, por ejemplo, la respuesta votada en https://math.stackexchange.com/questions/1351529/can-we-formally-distinguish-between-actual-and-potential-infinities: [Ellos] son ​​matemáticamente indistinguibles. O P.L. Clark en https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf, p. 11. OrDan Christensen: No es necesario distinguir formalmente el infinito real y el potencial. Nunca surge en las matemáticas del mundo real. https://groups.google.com/forum/#!topic/sci.logic/-hsEMkwt6FM%5B1-25%5D
@Wilhelm Muchos matemáticos leen y entienden a Aristóteles. Parece que hay una persona o grupo de personas con las que deseas luchar con la respuesta a esta pregunta. Ninguno de los enlaces que ha proporcionado muestra que los matemáticos no puedan entender artistotle. Muestran que esos matemáticos piensan que no es necesario que un matemático distinga entre los dos. Esas son cosas muy diferentes.
@Sella Biderman: Los matemáticos que entienden a Aristóteles, Cantor, Fraenkel, Zermelo, Hilbert, Nelson, Feferman, Robinson, Jech, Schechter, etc. no pueden pensar que no hay necesidad de distinguir infinitos. "A pesar de la diferencia significativa entre las nociones de infinito potencial y real, donde la primera es una magnitud finita variable, que crece por encima de todos los límites, la última una cantidad constante fija en sí misma pero más allá de todas las magnitudes finitas, sucede lamentablemente a menudo que la uno se confunde con el otro ". (Cantor) ctd.
Por ejemplo, una función nunca podría mostrar la contabilización de un conjunto o su incontablecimiento a menos que el dominio esté terminado o completo. Ejemplo simple: el argumento de la diagonal falla en el infinito potencial porque nunca se alcanza la integridad necesaria para tomar una decisión.
@Wilhelm ¿Qué quiere decir con que el argumento diagonal falla "en el potencial infinito"? ¿Te refieres al contrafactual "si los números naturales fueran potencialmente infinitos, entonces el argumento diagonal no funcionaría"? ¿Quiere decir "si solo se le permite realizar potencialmente infinitos pasos, entonces el argumento diagonal falla"? ¿Te refieres a otra cosa?
@Stella Biderman: El argumento diagonal prueba que el conjunto completo N puede absorber sólo un subconjunto de R. ¿Por qué deberíamos creer esto si no existe un conjunto completo N?
Conifold
2018-02-03 15:34:02 UTC
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La distinción entre infinitos potenciales y reales fue la inteligente solución de Aristóteles a las paradojas de Zenón. La idea era que, si bien podemos dividir mentalmente segmentos por la mitad, actualizar indefinidamente la secuencia resultante, que es lo que hace Zenón en Dicotomía, es un error. De Metafísica VIII.8:

" Aunque hay infinitas mitades en un continuo, estas son potenciales y no reales ... Así que la respuesta que tenemos que dar a la pregunta de si es posible atravesar infinitas partes ... es que hay un sentido en el que es posible, y en el que no lo es. Si existen en realidad, es imposible; pero si existen potencialmente, es posible. "

Sin embargo, después de la invención del cálculo, las resoluciones alternativas estuvieron disponibles, y el trabajo de Cantor convenció a muchos matemáticos de que otras" paradojas del infinito "también podrían tratarse, ver ¿Por qué Cantor (y otros) usaron $ \ mathfrak {c} $ para el continuo?. Además, Cantor desarrolló una teoría de los infinitos actualizados que se consideró fructífera (se cita a menudo la frase de Hilbert " nadie nos expulsará del Paraíso que Cantor ha creado "). El infinito real está integrado en las axiomatizaciones estándar de la teoría de conjuntos, por lo que no se puede distinguir del infinito potencial dentro de ellos. Para hacer la distinción, se necesitan axiomatizaciones alternativas de las matemáticas. Esto subraya la idea de Hilbert de los axiomas como definiciones implícitas de términos.

Las concepciones subyacentes fueron desarrolladas por intuicionistas, principalmente Brouwer y Weyl, ver Brouwer y Weyl: The Phenomenology and Mathematics of the Intuitive Continuum por Atten et al. Poincaré, Borel, Baire, Lebesgue y otros los llamados proto-intuicionistas anticiparon estas ideas antes, ver ¿Poincaré dijo que la teoría de conjuntos es una enfermedad? (no exactamente). Aquí está la descripción informal de Weyl de su concepción y la de Brouwer en Philosophy of Mathematics and Natural Science (1949):

" La noción de secuencia cambia su significado: ya no significa una secuencia determinada por una ley u otra, sino por una que se crea paso a paso por actos libres de elección, y así permanece in statu nascendi. Esta secuencia selectiva del 'devenir' representa el continuo, o la variable, mientras que la secuencia determinada ad infinitum por un La ley representa el número real individual que cae en el continuo. El continuo ya no aparece, para usar el lenguaje de Leibniz, como un agregado de elementos fijos, sino como un medio de libre 'devenir' ".

En Das Kontinuum (1918) Weyl emprendió una reconstrucción intuicionista del análisis clásico basado en estos infinitos del devenir. La reconstrucción de Weyl fue la primera de muchas. En 1930, Heyting formalizó la lógica intuicionista, lo que permitió dar plena expresión formal a los infinitos potenciales de Brouwer y Weyl. Resultó que no basta con alterar los axiomas de la teoría de conjuntos (en particular, los axiomas de infinito y elección tienen que ser descartados), sino también con descartar la ley del medio excluido, que permite el razonamiento por contradicción. De hecho, si el infinito nunca se "completa", ciertas afirmaciones acerca de él no pueden tener valores de verdad de una forma u otra. Los desarrollos más recientes en esta dirección, como el análisis constructivo de Bishop, suelen denominarse constructivismo (para evitar asociaciones kantianas); consulte también Teoría de conjuntos constructiva. Si bien una posición minoritaria entre los matemáticos, el constructivismo demostró ser una presencia duradera.

Gracias, pero necesito una declaración * formal * para convencer a los teóricos de conjuntos modernos. Por cierto, el infinito real no está integrado en los axiomas de Peano. Entonces, ¿qué parte del axioma de Zermelo "existe {} y con $ a $ existe {$ a $}" produce un infinito terminado? Hilbert estaba encantado con el infinito real, pero al final del artículo, alabando el paraíso de Cantor, resumió, algo refrescándose: "El infinito no se realiza en ninguna parte; no está presente en la naturaleza ni es admisible como fundamento de nuestro pensamiento racional". Yo por mi persona prefiero el pensamiento racional.
@Wilhelm Lo que convenció a la mayoría de los matemáticos fue la reconstrucción de las matemáticas basadas en la teoría de conjuntos con los infinitos reales de Cantor. Las reconstrucciones constructivistas son demasiado restrictivas para ser muy atractivas, aunque [Rodin] (https://arxiv.org/abs/1210.1478) tiene un nuevo enfoque interesante. El infinito terminado viene dado por ["existe un conjunto inductivo"] (https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity), o algo similar. Los axiomas de Peano combinados con la lógica intuicionista presumiblemente expresan solo el infinito potencial.
"Existe un conjunto inductivo" por sí solo todavía no hace que el infinito termine. También podría haberlo dicho Peano. Pero todo eso sería mucho más fácil de discutir si tuviéramos una definición formal de lo que podemos expresar coloquialmente como: Un conjunto $ S $ es marihuana. inf. si "cada subconjunto tiene un superconjunto adecuado en $ S $". Un conjunto $ S $ es acto. inf. si "no todos los subconjuntos tienen un superconjunto adecuado en $ S $".
@Wilhelm La aritmética de Peano no permite hablar de conjuntos, pero mientras la lógica sea clásica, su infinito contable es presumiblemente real. Su propuesta se llama [Dedekind infinite] (https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set), se aparta de la concepción inductiva en modelos de ZF.
user6999
2018-02-05 07:59:01 UTC
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Una función continua se puede caracterizar como una función en la que la salida se puede determinar con cualquier precisión finita utilizando solo información finita sobre la entrada. (Por información finita, me refiero a precisión. ¡Estúpido idioma inglés!)

Si un infinito es "potencial" o "real" depende exactamente de lo que hagas con él. Un número real es un objeto infinito; tiene infinitos dígitos. Algunas operaciones con números reales son factibles, mientras que otras no. Por ejemplo, claramente no es factible decidir si un número real es igual a $ 0 $, porque eso requeriría conocer todos los dígitos del número. Es factible multiplicar un número real por $ 2 $, porque esto se puede determinar con precisión $ \ epsilon $ leyendo solo un número finito de dígitos de la entrada.

Si una operación es factible se puede capturar mediante computabilidad o continuidad. La teoría de la topología y la computabilidad definen las nociones de función continua y función computable. Si una función es discontinua o no calculable, entonces tiene un infinito real. Además, la continuidad y la computabilidad son bastante similares en la práctica.

Wilhelm
2018-02-05 13:05:20 UTC
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Esta no es una respuesta, pero es demasiado larga para un comentario. Muestra la dirección donde se debe buscar la respuesta.

Una colección o clase $ C $ es potencialmente infinita si y solo si para cada subconjunto $ A $ hay un subconjunto $ B $ tal que $ A $ es un subconjunto adecuado de $ B $. De lo contrario, $ C $ es finito o realmente infinito.

$ C $ es potencialmente infinito $ \ Leftrightarrow \ forall A \ subseteq C $ $ \ exist B \ subseteq C: A \ subset B $.

Observación: La colección o conjunto completo de todos los números naturales no existe en el infinito potencial. El intervalo real completo $ [0, 1] $ no existe en el infinito potencial (por ejemplo, porque no existe la colección completa de fracciones unitarias).

Hay algo mal en la definición: si A puede ser C, entonces ningún conjunto lo satisface, C no es un subconjunto adecuado de nada, si A no puede ser C, entonces cada conjunto lo satisface, siempre se puede tomar B = C.
@Conifold: Es complicado. Un subconjunto $ A $ o $ B $ no puede ser la clase potencialmente infinita $ C $ porque este último no existe como una entidad completa (= conjunto). Solo si $ C $ es finito o realmente infinito, entonces $ A = C $ es posible y el criterio da la respuesta no "potencialmente infinita", es decir, finita o realmente infinita.
Es circular. Está utilizando la distinción que está tratando de definir para hacer la definición.
@Conifold: No estoy tratando de definir el infinito potencial. Estoy dando un criterio * formal *. Por supuesto que lo doy para que la distinción que se suele describir coloquialmente sea el resultado.
Eso está muy bien, pero hasta ahora no definió nada ni dio ningún criterio formal (o ningún). Para un criterio, uno no debería tener que consultarle sobre lo que constituye o no constituye un subconjunto "completo" antes de que sea "formalmente" detallado. En el mejor de los casos, tienes una vaga intuición. Puedes intentar hacer algo de forma inductiva, pero no veo una forma obvia de desenrollar tu círculo. O puede intentar incrustar esto en alguna lista de axiomas que describan implícitamente relaciones entre infinito finito, potencial e infinito real. Pero necesitará muchos más axiomas para que sea viable.
@Conifold: No hay círculo ni intuición. Simplemente aplique cualquier conjunto que desee como $ C $. Si sastif es el criterio, entonces es potencialmente infinito. De lo contrario, es finito o realmente infinito. Pruébalo.
Permítanos [continuar esta discusión en el chat] (http://chat.stackexchange.com/rooms/72753/discussion-between-conifold-and-wilhelm).


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