Pregunta:
¿Hay fuentes escritas (siglo XIX) que expresen la creencia de que la propiedad del valor intermedio es equivalente a la continuidad?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
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Como se pregunta en el título:

¿Hay alguna fuente escrita (del siglo XIX) que indique explícitamente la creencia de que cualquier función que satisfaga la propiedad del valor intermedio es continua?

(No creo que tenga sentido buscar fuentes anteriores, ya que la noción de continuidad en sí no se hizo rigurosa hasta el siglo XIX. Esta pregunta se originó en una respuesta que di en Math.Stackexchange. Lo que sigue se basa en gran medida en esa respuesta.)

Si I es un intervalo, yf: I → ℝ, decimos que f tiene el propiedad de valor intermedio si y solo si siempre que a ≠ b son puntos de I, si c está entre f (a) yf (b), entonces hay un anuncio entre a y b con f (d) = c.

Bolzano publicó en 1817 su artículo Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Demostración puramente analítica del teorema de que entre dos valores cualesquiera que den resultados de signo opuesto se encuentra al menos una raíz real de la ecuación). Allí, demuestra que las funciones continuas satisfacen la propiedad del valor intermedio. Como indica en el artículo, se creía ampliamente que la proposición era verdadera, y se habían dado varios argumentos "geométricos" tratando de justificarla.

Por otro lado, ahora sabemos que la propiedad del valor intermedio es mucho más débil que la continuidad.

I. Halperin, Funciones discontinuas con la propiedad Darboux , Can. Matemáticas. Bull., 2 (2) , (mayo de 1959), 111-118.

En el artículo de Halperin encontramos la cita divertida

Hasta el trabajo de Darboux en 1875, algunos matemáticos creían que la propiedad [del valor intermedio] en realidad implicaba la continuidad de f (x).

Esta afirmación se repite en (muchos) otros lugares. Por ejemplo, aquí se lee

En el siglo XIX, algunos matemáticos creían que la propiedad [del valor intermedio] es equivalente a la continuidad.

Esto es muy similar a lo que encontramos en A. Bruckner, Diferenciación de funciones reales , AMS, 1994. En la página 5 leemos

Algunos matemáticos del siglo XIX creían que esta propiedad era equivalente a la propiedad de continuidad.

Wikipedia:

Históricamente, esta propiedad de valor intermedio se ha sugerido como una definición para la continuidad de funciones de valor real [cita requerida].

No he podido encontrar una fuente directa que exprese esta creencia. El hecho de que este fuera el caso quizás esté respaldado por las dos citas siguientes de Mémoire sur les fonctions discontinues de Gaston Darboux, Ann. Sci. Norma de la Scuola. Sup., 4 , (1875), 161–248. Primero, en las págs. 58-59 leemos:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on regarderait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une critique rigoureuse dans l'exposé des propositions related aux fonctions les plus générales. Por ejemplo, en verra qu'il existe des fonctions continúa qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions discontinues qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

El artículo de Darboux demuestra que las derivadas tienen la propiedad del valor intermedio y que hay derivadas discontinuas, verificando así primero que las dos nociones no son equivalentes. (Por esta razón, la propiedad del valor intermedio a veces se denomina propiedad Darboux o, incluso, se dice que una función con esta propiedad es continuo Darboux .)

La prueba de que las derivadas tienen la propiedad de valor intermedio comienza en la página 109, donde leemos:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions discontinues qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère differentif des fonctions continúa, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.

Wikipedia menciona lo siguiente:

Antes de que se diera la definición formal de continuidad, la propiedad de valor intermedio se daba como parte de la definición de un función continua. Los proponentes incluyen a Louis Arbogast, quien asumió que las funciones no tienen saltos, satisfacen la propiedad del valor intermedio y tienen incrementos cuyos tamaños corresponden a los tamaños de los incrementos de la variable.

El artículo cita este sitio, aunque no he podido verificar esto a partir de los escritos de Arbogast (o del sitio vinculado). De hecho, Arbogast parece tener una noción de función que es significativamente más restrictiva que nuestra noción moderna de continuidad y, por lo tanto, el teorema del valor intermedio se mantiene allí. No veo que aborde directamente la propiedad del valor intermedio, ni indique que implique continuidad. (Dada su comprensión de lo que es una función, ni siquiera estoy seguro de que esto hubiera sido significativo).

Finalmente, déjame preguntar:

Si no es realmente el caso de que la creencia en la equivalencia de estas dos nociones haya sido expresada explícitamente en la literatura, ¿dónde se origina la afirmación falsa? (¿Está en el periódico de Halperin?)

Recientemente me enteré de [MR0165049 (29 # 2340)] (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni continue nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Estera. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. El documento parece preocuparse, al menos en parte, precisamente por esta cuestión. Ampliaré esto en una respuesta una vez que haya leído el artículo detenidamente y haya confirmado su relevancia.
Tres respuestas:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
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Una respuesta a su pregunta podría ser que la separación llegó bastante tarde. Wikipedia afirma que "los autores anteriores sostenían que el resultado era intuitivamente obvio y que no requería pruebas", por lo que hasta que Bolzano y Cauchy formalizaran la continuidad, creo que no tiene sentido encontrar pruebas. Por lo tanto, debemos buscar personas que lean a Bolzano o Cauchy y crean que la propiedad del valor intermedio es equivalente a la continuidad.

Como ya indicó en su pregunta, Darboux demostró en 1875 que se podía verificar el teorema sin ser continuo. Esto deja una pequeña ventana, 1817-1875, para encontrar absurdos publicados.

Y aquí viene el mismo Darboux.

La propriété précédente a souvent étée Prize pour la définition des fonctions continúa

que se traduce:

La proposición antes mencionada a menudo se confundía con la definición de función continua

Entonces, esto responde a su segunda pregunta: si no se puede encontrar evidencia previa, Darboux mismo hizo la afirmación de que el error era generalizado antes de su propio trabajo.

En la introducción de la misma memoria, Darboux afirma que M. El trabajo de Hankel de 1870 con respecto a las memorias de Riemann no está más allá de cualquier reproche, pero no está claro si está hablando de la existencia de una derivada para todas las funciones o del teorema del valor intermedio en este punto. Creo que alguien dispuesto a encontrar evidencia de confusión podría investigar el trabajo de M. Hankel, pero no pude encontrar el artículo que describe Darboux.

Si, gracias. Estoy de acuerdo en que sólo los artículos posteriores al de Bolzano y anteriores al de Darboux parecen relevantes. También indiqué en la pregunta que Darboux sugiere que el error era "común" (las dos citas que elegí pretendían ilustrar esto). Tampoco he visto el artículo de Hankel; Veré si puedo conseguir una copia en los próximos días.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
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Esta no es realmente una respuesta, pero es demasiado larga para caber en un comentario. La pregunta presupone que de acuerdo con las definiciones del siglo XIX, es falso que la propiedad del valor intermedio implique continuidad. No me queda nada claro que este fuera el caso.

Hay muchas formas posibles de formular la definición de la función. Tres ejemplos serían definir la noción como una fórmula, utilizar nociones de conjunto de puntos o proceder como en el moderno análisis infinitesimal suave (SIA). Por lo que puedo deducir del artículo de WP " Historia del concepto de función", la versión de conjunto de puntos no se desarrolló por completo ni se aceptó universalmente hasta bien entrado el siglo XX.

Si tenemos un contraejemplo para la afirmación, entonces para cada $ y $ real, tenemos un conjunto $ S_x $ de $ x $ valores equinumerables a los racionales, con todos los $ S_x $ separados y en un intervalo finito . Esto es equivalente a una prueba de que $ \ mathbb {R} $ es equivalente a $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $. Esto requiere al menos lo siguiente:

(1) Aceptamos la existencia de funciones que son discontinuas en todas partes.

(2) Aceptamos el análisis cantoriano de infinitos.

Ambas son elecciones filosóficas importantes, no verdades inevitables. # 1 es falso en SIA, por ejemplo. # 2 fue muy controvertido a finales del siglo XIX.

Así que creo que una mejor manera de hacer la pregunta podría ser más así: en qué momento del siglo XIX o En el siglo XX, ¿se desarrolló un consenso suficiente sobre las definiciones y la filosofía para hacer falso, de acuerdo con las elecciones estándar, que la propiedad del valor intermedio implica continuidad?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
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Francamente, no entiendo cómo alguien del siglo XIX podría haber pensado que la propiedad de valor intermedio implica continuidad. Tome $ y (x) = 0 $ si $ x = 0 $ y $ y = sin (1 / x) $ de lo contrario y tienes tu contraejemplo.

Sospecho que las funciones definidas por el análisis de casos en los reales se tomaron en consideración bastante tarde. Alguien sabe los detalles?


Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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