Pregunta:
¿Estaba $ 1 + 2 + 3 + \ cdots = - \ frac {1} {12} $ en la letra de Ramanujan?
user4237
2016-06-04 09:27:08 UTC
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En la carta que Ramanujan le escribió a Hardy, ¿dijo que $ 1 + 2 + 3 + \ cdots = - \ frac {1} {12} $. He estado escuchando esta ridícula declaración desde hace algún tiempo. Y ahora la gente dice que Ramanujan lo escribió. ¿Es verdad?

El uso adecuado de MathJax sería $ 1 + 2 + 3 + \ cdots = - \ frac 1 {12} $ en lugar de $ 1 + 2 + 3 ... = - \ frac 1 {12} $. $ \ qquad $
Si $ s> 1 $ entonces la función zeta de Riemann es $$ \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 1 {n ^ s}, \ tag 1 $$ y sustitución de $ -1 $ para $ s $ en que la igualdad produce $$ \ zeta (-1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots. $$ Pero esa sustitución produce una serie que no converge. Sin embargo, mediante la continuación analítica de $ (1) $, resulta que $ \ zeta (-1) = -1 / 12 $. $ \ qquad $
Tres respuestas:
Mark Yasuda
2016-06-04 12:28:50 UTC
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Ramanujan anotó la expresión en su primer cuaderno como se muestra aquí. Para obtener una descripción general rápida de esta serie, las notas de la conferencia de John Baez son un buen punto de partida. Estas notas sugieren que la observación de Ramanujan se remonta a Euler, aunque solo he visto la serie alterna relacionada $ 1 - 2 + 3 - 4 \ dots = \ frac {1} {4} $ mencionada en las publicaciones de Euler (ver E352).

Pero la pregunta no es si Ramanujan lo escribió en su cuaderno, sino si lo escribió en su famosa carta a Hardy.
@Gerald Edgar, gracias por señalarlo. La respuesta parece ser sí, la fórmula se menciona en su primera carta a Hardy: consulte la página 30 de [Ramanujan: Letters and Commentary] (https://books.google.com/books?id=Of5G0r6DQiEC&printsec=frontcover&dq=Ramanujan: + Letras + y + Comentarios & hl = en & sa = X & ved = 0ahUKEwixrLuD147NAhUH5GMKHfZQBKoQ6AEIHTAA # v = onepage & q = Ramanujan% 3A% 20Letters% 20and% 20Commentary & f = false).
Buena referencia. Por supuesto, debemos notar que antes de que Ramanujan dé estas sumas, dice que las series son divergentes. Y después de hacerlo, señala que se requiere una discusión sobre cuándo usarlos y cuándo no. Cuando se escribe sin estas dos partes adicionales, la suma es (como dijo el OP) ridícula.
He leído en varios artículos que Euler derivó esta suma utilizando la función zeta alterna y su relación con la función zeta.
Nick
2016-06-24 23:53:03 UTC
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Aquí está el texto relevante de la segunda carta de Ramanujan a GH Hardy, fechada el 27 de febrero de 1913:

Estimado señor, me complace mucho leer su carta del 8 de febrero de 1913. Esperaba una respuesta de usted similar a la que me escribió un profesor de matemáticas en Londres pidiéndome que estudiara cuidadosamente la Serie Infinita de Bromwich y no cayera en las trampas de las series divergentes. … Le dije que la suma de un número infinito de términos de la serie: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 según mi teoría. Si te digo esto, inmediatamente me señalarás el manicomio como mi objetivo. Me dilato en esto simplemente para convencerle de que no podrá seguir mis métodos de prueba si le indico las líneas sobre las que procedo en una sola letra. …

Fuente: página de wikipedia en $ \ Sigma n $, ancla en "Ramanujan summation".

elmokadem
2017-08-22 05:50:46 UTC
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Dijo eso en su segunda carta a Hardy, y resultó que no es tan ridículo después de todo. Esta suma se utiliza en física como en teoría de cuerdas.

Esto no parece agregar mucho a las respuestas que ya se dieron ...


Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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