Pregunta:
¿Cómo obtuvo su símbolo el producto exterior?
helveticat
2016-03-23 00:30:08 UTC
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Según el título: ¿dónde se originó la notación $ a \ wedge b $ para el producto exterior de $ a $ y $ b $, y / o quién la popularizó? Estoy especialmente interesado en la motivación para la elección de este símbolo (que también significa "y" en lógica y "encuentro" en la teoría del orden).

He trasladado esta pregunta aquí desde MSE, donde recibió muy poca atención a pesar de ofrecer una recompensa; la versión original está pegada debajo de la línea porque incluye un poco sobre mi razón para preguntar.


Parece extraño que algo que se parece tanto a una combinación [ver más abajo] obtenga "el símbolo incorrecto ". Es incluso peor cuando lo dualiza y obtiene algo llamado (bastante razonablemente) el "producto de encuentro", pero escribe eso como $ A \ vee B $.

Soy consciente de que la respuesta podría ser "simplemente resultó de esa manera", pero esta elección de símbolo fue motivada por una forma natural de pensar en $ A \ wedge B $ como un encuentro en una celosía u otra?

Si no es así, ¿a qué personaje histórico debo culpar por esta situación? Tengo entendido que Grassmann escribió $ A \ wedge B $ como $ [A, B] $, lo que lo dejaría libre.


Intuitivamente, si tengo dos vectores $ a $ y $ b $, $ a \ wedge b $ es el objeto más pequeño que contiene $ a $ y $ b $. Si ordena elementos del álgebra exterior por inclusión, lo que parece muy natural si está haciendo geometría, obtiene una celosía donde la operación de unión es el producto exterior.

Esto parece pasar a primer plano principalmente en enfoques de geometría relacionados con el álgebra de Clifford. Ejemplos de personas que mencionan esta relación y se quejan o alteran la notación estándar:

Mientras excava Con estas referencias, también presenté una afirmación de que Peano escribió el producto exterior usando $ \ vee $, mientras que Cartan usó $ \ wedge $, pero no me queda claro si Cartan originó (o popularizó) esta notación o si tenía una particular motivo para elegirlo [o, de hecho, si esta afirmación es correcta: fue un comentario casual sin cita].

One responder:
Conifold
2016-03-23 02:04:10 UTC
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Cajori da los primeros usos de los símbolos lógicos en el volumen 2 de Historia de las notaciones matemáticas. Ni Boole ni Schröder usaron $ \ wedge $ y $ \ vee $ en álgebra booleana, sino $ \ cdot $ (o espacio en blanco) y $ + $, la idea era hacerlo lo más "parecido al álgebra" posible. Peirce en sus conferencias de 1865 aparentemente fue el primero en dar al álgebra de Boole su forma moderna, al introducir la disyunción no estricta denotada $ \ vee $, y el material condicional. Peano usa $ \ smile $ para " la clase más pequeña que contiene todas las clases " y $ \ frown $ para " la clase más grande contenida en todas las clases " (no había nítida distinción entre operaciones lógicas y operaciones sobre clases en ese momento) en Formulaire de Logique (1891). De hecho, ya aparecen en su libro Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann (1888), junto con la primera axiomatización moderna de espacios vectoriales y cálculo exterior. Pero son solo para clases, no como cuñas o V, para multivectores. Peano escribe concatenaciones ocasionalmente precedidas por $ gr $. Russell y Whitehead volvieron al uso de Peirce en Principia (1910-13), con $ \ vee $ para disyunción y $ \ cdot $ para conjunción. La notación de encuentro / unión para celosías llegó incluso más tarde, por lo que no se estableció cuando Cartan estaba desarrollando el cálculo exterior en 1899-1925.

Aunque es común suponer que Cartan introdujo cuñas, no se encuentra ninguna en sus artículos y monografía sobre el tema, enlazados en ¿Dónde introdujo Cartan su notación para vectores básicos y covectores? En su mayoría, solo concatena formas sin ningún símbolo y muy ocasionalmente escribe corchetes. Supongo que la parte responsable es su alumno Ehresmann, a quien se le ocurrió la mayor parte de la simbología y la jerga modernas en el cálculo de variedades en su transformación de 1935-1960 del trabajo de Cartan, ver ¿Cómo se obtuvo el mapa exponencial de la geometría de Riemann su nombre?

En cuanto a la razón, mientras que el uso de $ \ wedge $ y $ \ vee $ en el álgebra booleana es simétrico, es el producto de Boole y Schröder el que se convirtió en el $ \ frown $ de Peano, reforzado como producto por Russell y Whitehead. Dado que el producto exterior es definitivamente un producto y no una suma, quizás $ \ wedge $ parecía más adecuado. Alexander y Kolmogorov usaron el $ \ cup $ "correcto" para el producto de taza correspondiente en cohomología en 1935. Pero su alma gemela es Rota, quien invierte audazmente la dirección incluso en el cálculo exterior, ver Sobre el cálculo exterior de la teoría invariante.

¡Muchas gracias, este es exactamente el tipo de detalle que esperaba!


Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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