No, Arquímedes y los antiguos griegos en general, no veían las fracciones como números, y no usaban fracciones como las usamos hoy, no las usan en absoluto. Lo que usaron fueron proporciones de magnitudes. A pesar de algunas similitudes superficiales, las razones no eran fracciones, y no eran entidades únicas, números o de otro tipo, eran relaciones entre magnitudes, números, líneas, áreas, volúmenes, etc. Ambas relaciones se conservaron en la razón, 7: 1 no fue identificado con 7, esfera inscrita: el cilindro no se identificó con 2: 3, aunque Arquímedes demostró que eran iguales. La igualdad no era identidad, las áreas y los volúmenes no eran números adjuntos a objetos geométricos, eran eran los objetos.
Las proporciones se podían comparar usando el truco de Eudoxo, multiplicado solo cuando tenía sentido geométricamente , el producto de las relaciones de línea fue una relación de área, pero no se agregó ni se restó. Consulte ¿Cuáles fueron las consecuencias de la prueba de irracionalidad de $ \ sqrt {2} $ para los griegos? para obtener más detalles y referencias, y ¿Eudoxus realmente se propuso presentar los irracionales como cortes de Dedekind? sobre cómo se compara la teoría de la relación Eudoxiana con los números reales modernos. Aquí es de Razón y proporción en Euclid por Madden:
" Pensamos en una razón como un número obtenido de otros números por división. Una proporción, para nosotros, es una declaración de igualdad entre dos“ números de razón ”. Cuando escribimos una proporción como a / b = c / d, las letras se refieren a números, las barras son operaciones con números y las expresiones a ambos lados del signo igual son números (o al menos se convierten en números cuando los valores numéricos de las letras son fijos). El patrón de pensamiento de los antiguos griegos. Cuando Euclides afirma que la razón de A a B es la misma que la razón de C a D, las letras A, B, C y D no se refieren a números en absoluto, sino a segmentos o regiones poligonales o algunas de esas magnitudes. La proporción en sí, según la Definición V.3, es simplemente "una especie de relación con respecto al tamaño" entre magnitudes.
Si queremos comparar dos magnitudes, lo primero que observamos de ellas es su tamaño relativo, pueden ser del mismo tamaño o una puede ser más pequeña que la otra. Si uno es más pequeño, adquirimos más información averiguando cuántas copias del más pequeño podemos caber dentro del más grande. Podemos obtener aún más información si observamos varios múltiplos del mayor y, para cada múltiplo, determinamos cuántas copias del menor caben dentro. Entonces, una razón es implícitamente una comparación de todos los múltiplos potenciales de una magnitud con todos los múltiplos potenciales de la otra. (Dos magnitudes son inconmensurables exactamente cuando ningún múltiplo de una es exactamente igual a cualquier múltiplo de la otra). Para comparar dos razones, A: B y C: D, entonces, debemos estar preparados para comparar la matriz de todas las posibles (números enteros) múltiplos del primer par con la matriz de todos los posibles (números enteros) múltiplos del segundo. "
Es este tipo de comparación la que usa Arquímedes en su Medición del círculo, y que hoy se reinterpreta como una producción de "estimaciones" fraccionarias de $ \ pi $ , ver ¿Quién fue el primero en calcular $ \ pi $ ?