Pregunta:
¿Arquímedes veía las fracciones como "números"?
Frunobulax
2020-08-27 14:30:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Durante bastante tiempo tuve la impresión equivocada de que los matemáticos griegos clásicos no usaban fracciones. (No recuerdo de dónde saqué esto.) Pero recientemente miré en el libro de Heath sobre Arquímedes y aparentemente Arquímedes usó fracciones de manera muy parecida a como las usamos hoy, excepto por utilizar una notación diferente.

Mi La pregunta ahora es: ¿Cómo veían Arquímedes y sus contemporáneos las fracciones?

Para ser un poco más claro sobre lo que quiero decir: en nuestra visión "moderna", las fracciones son simplemente números. Podemos sumarlos o multiplicarlos para obtener otras fracciones. Los números naturales son solo fracciones especiales en el sentido de que $ 7 $ se identifica con $ 7/1 $ . Tiene sentido comparar números naturales y fracciones como en $ 1 < 6/5 < 2 $ , puede "mezclar" números naturales y fracciones en cálculos, y la suma o el producto de dos fracciones puede ser un número natural.

¿Es así en esencia también cómo lo vio Arquímedes o las fracciones eran completamente diferentes de los números naturales en el sentido de que los números naturales eran los únicos números "reales" mientras que las fracciones eran sólo un dispositivo conveniente para expresar relaciones entre magnitudes geométricas? (Si el último fuera el caso, no tendría mucho sentido agregar fracciones, por ejemplo).

EDIT:

Al buscar el fuente de mi concepto erróneo encontré esta frase en "Número - El lenguaje de la ciencia" de Dantzig: "Diofanto fue el primer matemático griego que reconoció francamente las fracciones como números".

Esto no fue un error, la afirmación es más o menos precisa. Realmente no vemos a los racionales tratados "como números" antes de Diofanto.
Los números 'pares-impares' de Philolaos se discutieron aquí https://hsm.stackexchange.com/questions/6721/what-are-philolaos-even-odd-numbers
Dos respuestas:
Conifold
2020-08-27 15:24:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

No, Arquímedes y los antiguos griegos en general, no veían las fracciones como números, y no usaban fracciones como las usamos hoy, no las usan en absoluto. Lo que usaron fueron proporciones de magnitudes. A pesar de algunas similitudes superficiales, las razones no eran fracciones, y no eran entidades únicas, números o de otro tipo, eran relaciones entre magnitudes, números, líneas, áreas, volúmenes, etc. Ambas relaciones se conservaron en la razón, 7: 1 no fue identificado con 7, esfera inscrita: el cilindro no se identificó con 2: 3, aunque Arquímedes demostró que eran iguales. La igualdad no era identidad, las áreas y los volúmenes no eran números adjuntos a objetos geométricos, eran eran los objetos.

Las proporciones se podían comparar usando el truco de Eudoxo, multiplicado solo cuando tenía sentido geométricamente , el producto de las relaciones de línea fue una relación de área, pero no se agregó ni se restó. Consulte ¿Cuáles fueron las consecuencias de la prueba de irracionalidad de $ \ sqrt {2} $ para los griegos? para obtener más detalles y referencias, y ¿Eudoxus realmente se propuso presentar los irracionales como cortes de Dedekind? sobre cómo se compara la teoría de la relación Eudoxiana con los números reales modernos. Aquí es de Razón y proporción en Euclid por Madden:

" Pensamos en una razón como un número obtenido de otros números por división. Una proporción, para nosotros, es una declaración de igualdad entre dos“ números de razón ”. Cuando escribimos una proporción como a / b = c / d, las letras se refieren a números, las barras son operaciones con números y las expresiones a ambos lados del signo igual son números (o al menos se convierten en números cuando los valores numéricos de las letras son fijos). El patrón de pensamiento de los antiguos griegos. Cuando Euclides afirma que la razón de A a B es la misma que la razón de C a D, las letras A, B, C y D no se refieren a números en absoluto, sino a segmentos o regiones poligonales o algunas de esas magnitudes. La proporción en sí, según la Definición V.3, es simplemente "una especie de relación con respecto al tamaño" entre magnitudes.

Si queremos comparar dos magnitudes, lo primero que observamos de ellas es su tamaño relativo, pueden ser del mismo tamaño o una puede ser más pequeña que la otra. Si uno es más pequeño, adquirimos más información averiguando cuántas copias del más pequeño podemos caber dentro del más grande. Podemos obtener aún más información si observamos varios múltiplos del mayor y, para cada múltiplo, determinamos cuántas copias del menor caben dentro. Entonces, una razón es implícitamente una comparación de todos los múltiplos potenciales de una magnitud con todos los múltiplos potenciales de la otra. (Dos magnitudes son inconmensurables exactamente cuando ningún múltiplo de una es exactamente igual a cualquier múltiplo de la otra). Para comparar dos razones, A: B y C: D, entonces, debemos estar preparados para comparar la matriz de todas las posibles (números enteros) múltiplos del primer par con la matriz de todos los posibles (números enteros) múltiplos del segundo. "

Es este tipo de comparación la que usa Arquímedes en su Medición del círculo, y que hoy se reinterpreta como una producción de "estimaciones" fraccionarias de $ \ pi $ , ver ¿Quién fue el primero en calcular $ \ pi $ ?

Gracias. Entonces, si Heath dice que Arquímedes escribió algo como $ \ frac {14688} {4673 \ frac12} = 3+ \ frac {667 \ frac12} {4673 \ frac12} <3 \ frac17 $, esta es la interpretación de Heath (de alguna fuente secundaria ) y no debe leerse literalmente?
@Frunobulax Heath está traduciendo las construcciones geométricas de Arquímedes a una notación moderna para hacerlas más accesibles a los lectores.
Mozibur Ullah
2020-08-30 04:44:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Si bien es posible que Arquímedes no haya visto las fracciones como las vemos nosotros, esto no significa que no tuvieran el concepto de fracción. Esto se debe en parte a que hay más de una forma de ver el concepto de número.

Uno de los puntos de vista propuestos por la teoría de categorías es que los enteros naturales (los enteros estrictamente positivos, es decir, no incluyendo cero) son una descategorificación de FinSet , la categoría de todos los conjuntos finitos. Esto es diferente de la definición de von Neumann de un entero natural, que consiste en tomar el cociente por la relación de equivalencia natural que identifica todos los conjuntos de la misma cardinalidad.

Para reafirmar FinSet , en lugar de los enteros naturales es decir que categorizamos los enteros positivos. Que esto es algo natural lo demuestra el hecho de que en ciertos lugares donde usaríamos los enteros naturales, es más natural parametrizar por conjuntos finitos.

Del mismo modo, podemos categorizar las fracciones como lo hacemos úselos hoy y descubra que tenemos las fracciones que usó Arquímedes. En ese lenguaje, aunque 8/1 es no 8, seguramente son isomorfos, y esto significa aquí, equivalentes.

Entonces podríamos decir que Arquímedes está siendo más moderno que las concepciones más modernas del número ...



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 4.0 bajo la que se distribuye.
Loading...