Pregunta:
¿Qué desarrollos / descubrimientos matemáticos hicieron que los números imaginarios ganaran aceptación en el momento (siglo XVIII) en que lo hicieron?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En un artículo de Wiki sobre números imaginarios se afirmó que "el uso de números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta el trabajo de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ). "

¿Qué motivó las contribuciones de Euler y Gauss a la teoría de los números imaginarios? Por ejemplo, sé que Euler produjo la fórmula que más tarde condujo al teorema de DeMoivre, pero no entiendo bien por qué. Y sus vidas apenas se superponían, entonces, ¿por qué nadie "intermedio" tomó el "testigo" de Euler a Gauss?

(Irónicamente, René Descartes, quien se burló de los números imaginarios, fundó el "Cartesiano" 2x2) sistema de coordenadas, que es paralelo al plano en el que también se grafican los números imaginarios. Este puede haber sido un caso de una contribución "accidental".)

Pequeño detalle: el teorema de De Moivre en realidad es anterior a la identidad de Euler; originalmente fue derivado por él en una forma en 1707, y más tarde en su forma familiar en 1722. La identidad de Euler no es necesaria para probar el teorema de De Moivre, pero simplifica drásticamente la demostración.
Buenas referencias para esto son el primer capítulo del libro de Tristan Needham * Visual Complex Analysis *, y los capítulos sobre números complejos en * Mathematics and Its History * de Stillwell.
Tres respuestas:
#1
+19
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
view on stackexchange narkive permalink

El primer uso serio de números complejos es encontrar las raíces de polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos. Cardano, en su Ars Magna (1545), mostró por primera vez que las ecuaciones cuadráticas podían tener raíces (formalmente) complejas, aunque no las llamó así; dijo que eran "tan sutiles como [son] inútiles". En el texto de álgebra de Bombelli (1572), desarrolló las reglas de la aritmética compleja y demostró que la fórmula de Cardano para lo cúbico podía conducir a soluciones reales aunque los resultados intermedios fueran imaginarios. Por cierto, me han dicho en varias ocasiones que la notación $ i = \ sqrt {-1} $ solo se desarrolló para evitar el error común de ' demostrando ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Una idea clave que se logró a principios del siglo XVIII es la profunda conexión entre los números complejos y la geometría. Se observó que $ i $ se puede usar para simplificar muchas identidades trigonométricas, y en 1748 Euler descubrió su famosa y hermosa fórmula $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (La derivación fue bastante diferente de la que se presenta habitualmente en los libros de texto actuales; consulte esta entrada de la serie Cómo lo hizo Euler .)

La concepción de un número complejo como un punto en el plano es otro descubrimiento digno de mención. Esta construcción ya fue utilizada por Wessel en 1799 y fue redescubierta de forma independiente por Argand, pero realmente ganó popularidad cuando Gauss publicó su tratado sobre números complejos. Este libro también estableció gran parte de la notación y la terminología modernas que se utilizan en el análisis complejo.

Por cierto, aquí está el artículo original de Wessel. http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=es&sa=X&ei=Z0FwVMHDIbHmsASaved=EQConeA8 aquí: http://books.google.com/books?id=idM6nvbz9xgC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
En cuanto a la razón por la que se introdujo $ i $, otra posible explicación: se consideró que esta importante constante matemática merecía un nombre estándar, como $ e $ y $ \ pi $. La explicación dada en la respuesta se menciona en Wikipedia, pero está marcada * [cita requerida] *.
#2
+6
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Solo para complementar la respuesta de Danu. Algunas personas usaron números complejos desde el siglo XVI, sin embargo, la GRAN aceptación llegó más tarde (a fines del siglo XVIII) cuando varias personas (Argand, Vessel, Gauss) descubrieron la interpretación geométrica.

Esto aparentemente fue un paso crucial. Aún así, no fueron reconocidos universalmente. Dicen que incluso Chebyshev nunca los usó.

Otro evento que podría ser significativo: a principios del siglo XIX, los físicos comenzaron a usarlos (Fresnel).

Sobre Frenel: ¿tienes alguna referencia? No pude encontrar ningún uso de números complejos de Fresnel en la muy completa * El ascenso de la teoría ondulatoria de la luz * de Jed Buchwald; Fresnel parece adherirse a los senos y cosenos.
No he leído Fresnel. Probablemente esta información venga de Whittaker, Historia de las teorías del éter y la electricidad, pero tengo que comprobarlo. Específicamente, estamos hablando de una reflexión interna total (ver Wikipedia) pero no estoy seguro de que la derivación en Wikipedia sea de Fresnel.
#3
+5
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Aparte de la necesidad en el cálculo de raíces de polinomios cúbicos, existe otro papel más fundamental que juegan los números complejos en las ecuaciones polinomiales, que recién comenzaba a ser apreciado en el siglo XVII, este papel se expresa a través de teorema fundamental del álgebra , que dice que cualquier ecuación polinomial no constante tiene al menos una raíz, si permitimos que los números complejos sean raíces, es decir, si $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ son números reales tales que al menos uno de $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ es distinto de cero, entonces la ecuación \ begin {ecuación} \ label {e: polyinomial-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {ecuación} tiene una solución, siempre que $ x $ pueda tener valores complejos. Si $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , entonces la ecuación $ p (x) = 0 $ se convierte en $ a_0 = 0 $, que no tiene ninguna solución (compleja) cuando $ a_0 \ neq0 $. Entonces, la condición de que al menos uno de $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ es distinto de cero (es decir, $ p (x) $ no es constante) es simplemente para descartar este caso trivial. del álgebra es milagroso porque los números complejos están diseñados para resolver cualquier ecuación cuadrática, y es a priori concebible que necesitemos introducir un nuevo tipo de "número" cada vez que aumentamos el grado de una ecuación polinomial La primera formulación del teorema fundamental del álgebra fue dada por Albert Girard (1595-1632) en 1629, aunque no intentó demostrarlo; de hecho, las pruebas rigurosas de este teorema no aparecieron hasta principios del siglo XIX, lo que por cierto marca el comienzo de una era en la que la existencia y la utilidad de los números complejos fueron ampliamente aceptadas.

Cualquier duda sobre la existencia y la importancia de los números complejos se descartó por completo después del desarrollo del análisis complejo , que también se conoce como teoría de funciones .La motivación inicial para estudiar funciones de una variable compleja era utilizarlas para calcular (o simplificar) integrales reales definidas, Euler y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) (1736-1813) hacia 1760-1780 realizaron trabajos pioneros en esta dirección, y su investigación fue retomada más tarde en la década de 1810 por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), quien se dio cuenta en 1821 de que Las funciones complejas tienen una rica teoría propia. Gauss alcanzó el mismo entendimiento ya en 1811 y jugó un papel importante en la popularización de los números complejos, pero no contribuyó directamente al desarrollo del análisis complejo. Así, aproximadamente entre 1820-1850, Cauchy desarrolló sin ayuda todos los resultados básicos del análisis complejo, quizás con la excepción de la serie Laurent, que apareció por primera vez en un artículo presentado por Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) en 1843.



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
Loading...