Según la leyenda, en algún momento del siglo VI a.C. Pitágoras visitó una tienda de herreros y descubrió que los intervalos musicales corresponden a proporciones simples de números pequeños. Este descubrimiento impresionó tanto a Pitágoras que concluyó que "el universo está regido por números". En mi opinión, esto puede considerarse el "nacimiento de las ciencias exactas".

Desafortunadamente, esta leyenda proviene de los autores que vivieron muchos siglos después de Pitágoras y sus relatos de lo que realmente sucedió en la herrería son incorrectos. (Ellos realmente no entendieron de qué estaban hablando). Sin embargo, sabemos que este descubrimiento se hizo hace mucho tiempo, y esto se refleja en la leyenda.

Este es sin duda un uso de números "diferente de contar".

No estoy seguro de que la longitud de medición pertenezca a esta categoría. En algún momento posterior, en el siglo V aC, los seguidores de Pitágoras hicieron un descubrimiento fundamental e inquietante de que no se puede medir la longitud con números. (En lenguaje moderno: que la diagonal de un cuadrado no es conmensurable con el lado). Este descubrimiento condujo a una crisis no solo en las matemáticas sino en toda la cosmovisión de que "los números gobiernan el mundo". La crisis se resolvió en la época de Euclides (III aC) en cuyo libro leemos "la teoría de las proporciones" que equivale a la teoría moderna de los números reales, pero expuesta en un lenguaje puramente geométrico.

Teoría de proporciones se utilizó hasta el siglo XIX. Observe, por ejemplo, que Newton (y muchos libros de física) no establecen la ley de la gravedad o la segunda ley de Newton o la ley de Hooke como una relación entre números. No dicen que la fuerza sea igual al producto de tal o cual cosa dividida por tal o cual cosa. Solo dicen que algo es "proporcional" a algo. Este es un resto de esa época que todavía existe en algunos libros de física.

Las teorías modernas y rigurosas de los números reales (y complejos y otros) se crearon en el segundo mitad del siglo XIX. Ciertamente, no están diseñados para contar, sino para medir. Ciertamente, la gente utilizó los números para medir en la práctica desde tiempos inmemoriales, sin ninguna teoría.

http://en.wikipedia.org/wiki/ Martillos_pitagóricos

Al menos para el mundo griego antiguo, podemos ver la idea pitagórica de los tetractys , la figura triangular hecha de guijarros, ordenados en cuatro filas para formar un triángulo, que se suman al perfecto número diez.

Ver:

• Walter Burkert, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism (1972, edición alemana: 1962), página 72:

El núcleo de la sabiduría pitagórica son los "tetractys", o "cuatro grupos", compuestos por los números $ 1,2,3,4 $ que suman uo a $ 10 PS Están representados en una figura de guijarros, en forma de "triángulo perfecto".

Es claramente una forma de concebir los números como objetos "reales" con sus propias propiedades, y no solo como un "dispositivo de conteo".

Supongo que la suma de números distintos de $ n + 1 $ no cuenta. La primera evidencia de esto es el famoso hueso de Ishango.

Tiene tres filas de números en notación unaria que al girar actúan como un regla de cálculo para la suma en la que se resuelven adiciones como las siguientes:

(2) + 3 + 6 = 11

3 + 6 + 4 = 13

3 + 6 + 4 + 8 = 21

(El 2 no está grabado en el hueso)

Según Wikipedia incluso se ha especulado que funciona como un calendario lunar y que el primer matemático fue una mujer, pero eso no es un consenso común. Es notable el conjunto completo de números primos entre 10 y 20 en la fila b.

Debido a que esta pregunta también es semánticamente interesante, también se debe considerar el aspecto semiótico.

Tomados, ciertos signos en la historia humana antigua se usaron para la contabilidad, es decir, marcar ciclos y cantidades de objetos , los mismos signos podrían haberse utilizado para "cualquier otra cosa". No hay nada fundamental que lo restrinja.

Se puede contar o expresar cantidad sin un signo escrito, por ejemplo con los dedos. Esto ya sugiere que cualquier símbolo que uno tome, por defecto significa también algo más. Un dedo es uno, uno es un dedo. Cuando se desarrollaron los sistemas de escritura, eso siguió aplicándose. Por ejemplo, símbolos egipcios (3000 a. C.) que denotan números también significaban una cura, una cuerda, un lirio, una rana, etc. En muchos idiomas semíticos (por ejemplo, en hebreo) y otros como el griego y el latín , los signos del alfabeto también eran números. Y todavía siguen siéndolo.

Podemos ver por estos ejemplos que los números, ya fueran ordinales o cardinales, también representaban otras cosas desde el principio. No importa si las señales son simples muescas hechas con un objeto puntiagudo al otro objeto, o si las señales son ideogramas o pictogramas más sofisticados.

Respondiendo semánticamente a la pregunta "¿Cuándo se usaron por primera vez los números para otra cosa que no sea contar?" Diría que la práctica va antes de que se establecieran los sistemas de escritura. Y fue al revés, los números abstractos llegaron después. Los casos especiales suelen convertirse antes de una abstracción general. Pero la capacidad mental para abstraer el uso de números puramente como cantidades probablemente evolucionó también antes de los sistemas de escritura, por lo que es difícil saber cuándo sucedió. Por otro lado, es bastante seguro asumir que los números como entidades y signos mentales separados evolucionaron fuertemente junto con la agricultura y la colonización en el Cercano Oriente entre 10000 a. C. y 5000 a. C. En el cuarto y tercer milenio antes de Cristo, Mesopotamia, podemos encontrar muchos textos metrológicos que usan números para denotar cantidades y medidas puramente como una longitud, un peso y una capacidad.

En sistemas numéricos de Babilonia, dos trazos diferentes hechos con una cuña se usaban estrictamente para denotar dígitos únicos y potencias de diez. Podría haber una era en la que la práctica contable relacionada con los impuestos obligara a usar números en un sentido muy estricto. Uno puede ver una tendencia ondulada a usar símbolos numéricos puramente para cantidades, nos acercamos a nuestra edad.

Pero como se señaló en otras respuestas, incluso en el año 500 a. C., Pitágoras promovió la idea de calidad sobre cantidad en números . Así que la abstracción numérica en el sentido de que significa estrictamente solo cantidad o magnitud nunca se rompió por completo, al menos antes de la era moderna. Y, de hecho, en la notación matemática moderna casi nunca usamos números, sino variables y otros símbolos abstractos.

Tal vez la pregunta podría elaborarse un poco para que nos gustaría saber cuándo los números se usaron operativamente dentro de fórmulas o se agruparon en conjuntos de características en lugar de simplemente como contraataques físicos similares al hueso de Lebombo o el hueso Ishango? Podemos intentar deducirlo de las pinturas rupestres y estructuras construidas que quedan del pasado milenario. Pero seguramente solo sabemos por los textos escritos en el 4000 AC - 3000 AC que hay un indicio de áreas que se están calculando en Uruk [a]. Además, los números grandes que superen las decenas de miles y millones podrían sugerir que se han realizado algunas operaciones de suma / multiplicación en lugar de contar los objetos uno por uno. El corpus principal de textos matemáticos, donde los números se usaron en ecuaciones complejas, no solo como contadores, provienen de Mesopotamia y Egipto, 1800 aC [b].

a) Pirámides y conos en cuneiforme y otros Textos matemáticos, Jöran Friberg (1997)

b) Historia de las matemáticas, Vagn Lundsgaard Hansen, Jeremy Gray (2010, página 5)

Esta es una pregunta interesante y después de investigar este tema se vuelve aún más interesante. Primero, como esperaba, el artefacto matemático más antiguo se encontró en África y puede leer sobre esto en detalle en este enlace:

http://www.math.tamu.edu/~dallen/ masters / origins / origins.pdf

Más tarde, encontré información que añade un giro a su pregunta porque hay investigaciones comprobadas disponibles que muestran la capacidad que poseen los animales para comprender los números. Dicho esto, los orígenes de las matemáticas posiblemente podrían haber comenzado con otra especie distinta de la raza humana. Puede leer más información sobre este reclamo aquí:

http://www.pierce.ctc.edu/staff/dlippman/mathinsociety/HistoricalCounting1.0.pdf

Sin embargo, si solo nos centramos en la raza humana, toda la evidencia parece apuntar a África, ya que allí se encontraron los huesos y el artefacto matemático más antiguos. En cuanto a la prueba de establecer esta investigación en relación con los conceptos geométricos de longitud y área es discutible. Aún así, su pregunta tiene algunos méritos y puntos notables porque las medidas de longitud y área son buenos ejemplos de números que se utilizan para otros fines además de contar objetos.