Pregunta:
¿Cuál es la diferencia entre el cálculo de Newton y el de Leibniz?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
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¿Existe alguna diferencia entre el estudio de cálculo realizado por Newton y el realizado por Leibniz? En caso afirmativo, mencione punto por punto.

Relacionado en Math.SE: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- did-newton-and-leibniz-really-do-calculus, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Cinco respuestas:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
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La notación de Newton, la notación de Leibniz y la notación de Lagrange están todas en uso hoy en día hasta cierto punto, respectivamente:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f '( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Puede encontrar más ejemplos de notación en Wikipedia.

La notación integral estándar ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) también fue desarrollada por Leibniz. Newton no tenía una notación estándar para la integración.

He leído de "La información" de James Gleick lo siguiente: Según Babbage, quien finalmente tomó la Cátedra Lucasiana en Cambridge que Newton tenía, la notación de Newton paralizó las matemáticas desarrollo. Trabajó como estudiante para instituir la notación de Leibniz como se usa hoy en Cambridge a pesar del disgusto que la universidad todavía tenía debido al conflicto Newton / Leibniz. Esta notación es mucho más útil que la de Newton en la mayoría de los casos. Sin embargo, sí implica que puede tratarse como una fracción simple que es incorrecta.

* Sin embargo, implica que puede tratarse como una fracción simple que es incorrecta. * No es cierto. Para una buena discusión de esto, vea Blaszczyk, Katz y Sherry, Diez conceptos erróneos de la historia del análisis y su desacreditación, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Consulte también http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Como se explica en el artículo de Blaszczyk, Leibniz básicamente hizo esto completamente bien, incluyendo lo que en NSA ahora se conoce como la distinción entre el cociente dy / dx y la derivada, que es la parte estándar de ese cociente.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
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Más allá del tema de la notación, Newton experimentó con varios enfoques fundamentales. Uno de los primeros involucró a infinitesimales, mientras que más tarde los rehuyó debido a la resistencia filosófica de sus contemporáneos, a menudo derivada de consideraciones religiosas sensibles estrechamente relacionadas con las disputas entre denominaciones. Leibniz también estaba al tanto de las disputas, pero usó infinitesimales y diferenciales sistemáticamente en el desarrollo del cálculo, y por esta razón tuvo más éxito en atraer seguidores y estimular la investigación, o lo que llamó el Ars Inveniendi .

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
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Definitivamente deberías echar un vistazo al segundo capítulo de Huygens & Barrow, Newton & Hooke de Arnold. El difunto profesor Arnold resumió allí la diferencia entre el enfoque de Newton para el análisis matemático y el de Leibniz de la siguiente manera:

El análisis de Newton fue la aplicación de series de potencia al estudio del movimiento ... Para Leibniz, .. El análisis fue un estudio algebraico más formal de anillos diferenciales.

La descripción general de Arnold de las contribuciones de Leibniz al tema está condimentada con un número no despreciable de comentarios que invitan a la reflexión:

En el trabajo de otros geómetras - por ejemplo, Huygens y Barrow - también aparecieron muchos objetos conectados con una curva dada [por ejemplo: abscisa, ordenada, tangente, la pendiente de la tangente, el área de una curva curvilínea figura, lo subtangente, lo normal, lo subnormal, etcétera] ... Leibniz, con su tendencia individual a la universalidad [consideró necesario descubrir la denominada característica, algo universal, que une todo en la ciencia y contiene todas las respuestas a todas las preguntas], decidió que todos estos quan tidades deben ser consideradas de la misma manera. Para esto, introdujo un solo término para cualquiera de las cantidades conectadas con una curva dada y cumpliendo alguna función en relación con la curva dada - el término función...

Así , según Leibniz, muchas funciones estaban asociadas con una curva. Newton tenía otro término, fluido, que denotaba una cantidad fluida, una cantidad variable y, por lo tanto, asociado con el movimiento. Sobre la base de los estudios de Pascal y sus propios argumentos, Leibniz desarrolló con bastante rapidez el análisis formal en la forma en que lo conocemos ahora. Es decir, en una forma especialmente adecuada para enseñar análisis de personas que no lo entienden a personas que nunca lo entenderán ... Leibniz estableció con bastante rapidez las reglas formales para operar con infinitesimales, cuyo significado es oscuro.

El método de Leibniz fue el siguiente. Asumió que toda la matemática, como toda la ciencia, se encuentra dentro de nosotros, y por medio de la filosofía solo podemos dar con todo si prestamos atención a los procesos que ocurren dentro de nuestra mente. Por este método descubrió varias leyes y, a veces, con mucho éxito. Por ejemplo, descubrió que $ d (x + y) = dx + dy $ , y este notable descubrimiento lo obligó inmediatamente a pensar en cuál es el diferencial de un producto . De acuerdo con la universalidad de sus pensamientos, rápidamente llegó a la conclusión de que la diferenciación [tenía que ser] un homomorfismo de anillo, es decir, que la fórmula $ d (xy) = dx dy $ debe aguantar. Pero después de algún tiempo verificó que esto lleva a algunas consecuencias desagradables y encontró la fórmula correcta $ d (xy) = xdy + y dx $ , que ahora se llama Leibniz regla. Ninguno de los matemáticos de pensamiento inductivo -ni Barrow ni Newton, a quien en consecuencia se llamaba un imbécil empírico en la literatura marxista- podrían [haber metido nunca] en la cabeza la hipótesis original de Leibniz, ya que para tal persona era bastante obvio cuál es el diferencial de un producto, a partir de un simple dibujo ...

La afirmación de Arnold de que Leibniz "llegó a la conclusión" de que $ d (xy) = dxdy $ es un error que se ha discutido ampliamente en otra parte. Leibniz no hizo tal afirmación, pero por el contrario preguntó si esto era cierto. Y, efectivamente, llegó a la conclusión de que no era así, muy pronto. El tono sarcástico de Arnold probablemente se deba a su desconfianza (¿siguiendo a Berkeley y Cantor?) Hacia los infinitesimales, lo cual también es obvio en algunas afirmaciones absurdas que hace aquí sobre la supuesta "oscuridad" de su significado.
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
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Desde un punto de vista práctico, la notación era muy diferente.

Un punto especial para mí es que la notación de Leibniz te permite incorrectamente trabajar con derivadas como si fueran una fracción matemática. Desafortunadamente, esto "funciona" la mayor parte del tiempo, por lo que todavía se usa, incluso en los cursos universitarios, en la actualidad.

No creo que haya nada malo con los atajos, hasta el punto de que no interfiere con la comprensión. En este caso, creo que crea una mala comprensión del tema. Creo que solo esto coloca la notación de Newton por encima de la de Leibniz.

Gracias @carlosbriebiescas por la información, lo estaré leyendo ahora mismo, ¿es este el único punto de diferencia?
-1: Me temo que afirmaciones como estas se basan en un malentendido de la notación de Leibniz, así como en el uso histórico de la palabra función. Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo, estas discusiones: [Si d / dx es un operador, ¿en qué opera?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) y [Funciones polimórficas en cálculo vectorial] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
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De la traducción de Loemker,

"El razonamiento de Leibniz, aunque se esfuerza por lograr una aplicación más amplia de la ley de los cuadrados inversos que solo a la gravedad, es menos general que el de Newton (Principia, Libro I, Proposiciones I, 2, 14), ya que presupone movimiento armónico. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Philosophical Papers and Letters: A Selection / Traducido y editado, con una Introducción de Leroy E. Loemker. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970. p. 362



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