Pregunta:
¿Cuándo y cómo se desarrolló la comprensión geométrica de las teorías de gauge?
Danu
2014-10-29 02:43:10 UTC
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En física teórica, la perspectiva moderna de la teoría del calibre es que se describe de manera más elegante en el "lenguaje" de la geometría diferencial. Me interesa la historia detrás de estas ideas.

En primer lugar, parece (por ejemplo, esta anécdota de C.N. Yang) que los 'padres' de la teoría del calibre (físico) desconocían la profunda conexión con la geometría. De hecho, no estoy seguro de que el marco matemático bastante avanzado que uno necesita para comprender las teorías de gauge estuviera en su lugar (es decir, entendido como una teoría completamente abstracta) en ese momento. También pienso , pero no estoy seguro, que la teoría matemática de los conjuntos principales y otros objetos y / o estructuras matemáticos relacionados se desarrolló por primera vez de manera totalmente abstracta, antes de que se diera cuenta de lo útil que era para describir física.

Creo que lo que estoy pidiendo es un relato (superficial) de lo siguiente:

1) ¿Cuáles fueron las ideas clave que permitieron a los físicos y matemáticos comprender las teorías de calibre en este ¿Light?

2) ¿Cuándo (y quién?) se realizaron por primera vez estos pasos esenciales?


Para los interesados, este es un ( tangencialmente) relacionada con la mía, de la física.SE

Encontré [este] (http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/paper.pdf) documento una exposición justa sobre la historia de las conexiones que incluye un poco de la historia de Gauge.
Dos respuestas:
#1
+17
Logan M
2014-10-29 12:27:23 UTC
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Me centraré específicamente en la geometría de las teorías de Yang-Mills, pero como señala la respuesta de Conifold, las teorías de calibre se estudiaron geométricamente mucho antes del trabajo de Yang y Mills.

El avance del volumen 5 de las obras recopiladas de Atiyah (sobre teorías de gauge) contiene algunos comentarios históricos sobre esto desde el lado de las matemáticas. Puede leerlo aquí. Esto es probablemente algo más tarde de lo que está buscando, ya que tiene más que ver con el estudio posterior de las propiedades geométricas profundas de la teoría de Yang-Mills que con la interpretación (comparativamente simple) de Yang-Mills como una acción en el espacio. de conexiones.

Atiyah dice que sus propios intereses en el tema comenzaron en 1977, cuando dice que el interés por las teorías de gauge entre los matemáticos apenas estaba comenzando (citando la influencia de Yang en los círculos matemáticos). Eso coincide bastante bien con sus escritos. El primer escrito incluido en su colección es [1]. Este artículo, que él cita, trae muchas de las ideas de la teoría de gauge a la comunidad matemática. En él, muestra que el problema de múltiples instancias se puede reducir a la construcción de paquetes de vectores adecuados en un espacio proyectivo tridimensional. La construcción se completó en [2]. Escribió varios artículos más ese año y en los años siguientes sobre la geometría y topología de los campos de Yang-Mills. Sus (y otros) artículos de finales de los 70 son los primeros que conozco de matemáticos sobre la geometría de la teoría de Yang-Mills.

A principios de los 80, varias otras personas comenzaron a publicar sobre este tema. Algunos de los grandes nombres son Donaldson, Hitchin y Witten. En particular, el estudio de Donaldson de 4 variedades mediante instantones en [3] resultó ser de gran interés. En ese momento, había quedado claro que las ecuaciones de Yang-Mills podrían usarse con gran efecto para algo más que la física. Es justo decir que el interés en ellos continuó durante los años 80 y, en algunos casos, hasta la actualidad.

Los primeros desarrollos anteriores a este fueron asumidos casi por completo por los físicos. Sé menos de la historia aquí porque los físicos parecen menos inclinados a escribir relatos detallados de la cronología de los eventos. Está claro que en 1977, los físicos ya sabían que Yang-Mills podía verse en términos de una acción funcional en el espacio de conexiones, aunque no se habían explorado las consecuencias geométricas. (Por supuesto, los físicos tenían problemas más importantes con los que lidiar antes de eso, como comprender cómo dar masa a los bosones gauge y demostrar la renormalización del Yang-Mills cuántico). La primera fuente que conozco de esto es de Popov en [4] en 1975. En esto, muestra que la interpretación geométrica ahora estándar de Yang-Mills a través de paquetes y conexiones principales produce las ecuaciones de Yang-Mills. Sin embargo, es muy posible que algunas de las ideas se hayan originado antes, aunque no puedo ver nada en las citas que lo indique.

Referencias:

[1] M. F. Atiyah y R. S. Ward: “Instantones y geometría algebraica”, Comm. Matemáticas. Phys. 55: 2 (1977), págs. 117-124.

[2] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfel'd y Yu. I. Manin: “Construcción de instantones”, Phys. Letón. A 65: 3 (1978), págs. 185-187.

[3] S. K. Donaldson, "Una aplicación de la teoría de gauge a la topología de cuatro dimensiones", Jour. Diferencial Geometry 18 (1983), 279-315.

[4] Popov, D. A., "Teoría de los campos de Yang-Mills", 1975, Teor. Estera. Fiz. 24, 347.

@Danu Interpreté aquí la "teoría del calibre" en el sentido de teorías de Yang-Mills, pero como Conifold señala correctamente, la historia de los matemáticos que estudian las teorías del calibre geométricamente se remonta bastante antes del trabajo de Yang y Mills, así que si prefieres esa parte de la historia se siente libre de aceptar su respuesta.
#2
+17
Conifold
2014-10-31 00:07:57 UTC
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Me centraré en la historia anterior al artículo de Yang-Mills. El primer presagio fue la introducción del potencial escalar para el campo gravitacional por Lagrange en 1773. En 1864 Maxwell introdujo el potencial vectorial para el campo magnético, que puede interpretarse como una forma de conexión, haciendo de la teoría magnética la primera teoría de gauge en retrospectiva. En el famoso artículo de 1905, Einstein unió los potenciales escalar y vectorial en un potencial 4, que es una forma de conexión en el fondo de cuatro dimensiones. Al mismo tiempo, los desarrollos en geometría diferencial condujeron a otro tipo de conexión, la de Riemann, en forma de derivada covariante. Los símbolos de Christoffel fueron su primera aparición, y Ricci y Levi-Civita desarrollaron la teoría basada en la "diferenciación absoluta" (derivadas covariantes) sistematizada en su libro de 1900.

Pero esto califica más como una pre historia. La verdadera historia de la teoría gauge comienza en los artículos de Hermann Weyl de 1918-1920, donde reunió diferentes hilos que se desarrollaron hasta ese momento. Irónicamente, Weyl también estaba motivado por la teoría de la gravedad, la relatividad general. Primero, notó que no se necesita una métrica de Riemann para definir el transporte paralelo, lo que ahora se llama conexión afín es suficiente. Luego se dio cuenta de que la geometría de Riemann no es completamente local, las longitudes de los vectores en diferentes puntos, que son números, se pueden comparar en el sentido absoluto. Para localizarlo por completo, cambió a métricas conformes acompañadas de un campo de escalas, en secciones de terminología moderna de un paquete principal con la fibra, el grupo multiplicativo de números reales positivos $ R ^ + $. El transporte de escalas (calibres) requiere especificar una forma 1, una forma de conexión principal, y cambiarlas induce una transformación de esta forma, una transformación de calibre. Luego, Weyl formuló por primera vez el principio de invariancia de calibre, la forma de las leyes naturales debe ser invariante bajo cambios locales de calibre.

Dado que las fórmulas que obtuvo eran idénticas a las del electromagnetismo, Weyl conjeturó que la curvatura de su conexión de escala era exactamente el campo electromagnético. Incluso escribió ecuaciones acopladas para campos electromagnéticos y gravitacionales que produjeron la primera teoría de campo unificado (Kaluza propuso su teoría de cinco dimensiones casi al mismo tiempo, que publicó en 1921). Desafortunadamente, no era físico, como Einstein señaló en breve.

Weyl volvió a la idea del indicador en 1929, desde la perspectiva de la mecánica cuántica. Esta vez, en lugar del campo de escalas, utilizó el campo de fases, que se reemplazó $ R ^ + $ con U (1) como fibra. Las fórmulas son casi las mismas, excepto por la presencia de i, nunca consideró paquetes de principales no abelianos. En 1930 Dirac usó paquetes U (1) no triviales para describir monopolos magnéticos. Varadarajan describe en detalle estos desarrollos en su documento de encuesta.

Después de Weyl, los caminos matemático y físico divergen una vez más. Elie Cartan utilizó conexiones especializadas para estudiar los sistemas de Pfaffian en 1926, vivían en haces de fibras con fibras como espacios homogéneos (geometrías kleinianas), su trabajo solidificó la visión de las conexiones como formas-1 con valores matriciales. En 1950 se produjeron dos grandes desarrollos, Koszul ofreció una descripción algebraica general de conexiones en paquetes de vectores como derivadas covariantes y eliminó la necesidad de objetos no tensoriales como los símbolos de Christoffel. Ehresmann, alumno de Cartan, finalmente dio una definición general de conexión en un paquete principal, abeliano o no, y aclaró la relación general entre las conexiones en el principal y los paquetes asociados. Sin embargo, su noción de conexión era muy abstracta, una distribución horizontal en el haz tangente al espacio total, que puede usarse para definir el transporte paralelo directamente.

Cuando Yang y Mills introdujeron en su artículo la primera teoría de gauge no abeliana (con SU (2) como fibra) en 1954, no estaban al tanto de estos desarrollos matemáticos, la relación entre las conexiones principales y los campos de gauge era aclarado en los años siguientes a su publicación.

Las ideas de Weyl se exponen con considerable detalle junto con el trabajo de Utiyama y Yang y Mills en Dawning of Gauge Theory de Oraifeartaigh, ver http://www.amazon.com/Dawning-Gauge-Theory-Lochlainn-ORaifeartaigh/dp/0691029776 por ejemplo .
El potencial 4 fue introducido por Minkowski en su famoso artículo de 1907, no por Einstein.


Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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