Pregunta:
¿Cómo y cuándo se redescubrió la demostración de Bolzano del teorema de Bolzano-Weierstrass?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Siempre he sentido curiosidad por saber cómo se redescubren las grandes ideas olvidadas. Esta pregunta: ¿Hay fuentes escritas (del siglo XIX) que expresen la creencia de que la propiedad del valor intermedio es equivalente a la continuidad? me llevó al siguiente artículo:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - ¿No es tan desconocido para sus contemporáneos como se cree comúnmente?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Paywall de Elsevier , lo siento, no pude encontrar una versión liberada.)

que dice que "a Herman Hankel se le atribuye haber sido el primero en traer a Bolzano a la atención general de la comunidad matemática en 1871. " (y Schubring continúa argumentando que, de hecho, el trabajo de Bolzano probablemente había sido conocido por el círculo de Crelle en Berlín alrededor de 1825 antes de ser olvidado).

¿Cómo llegó Hankel al trabajo de Bolzano y reconoció que Bolzano tenía prioridad sobre Weierstrass?

One responder:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Advertencia justa: esta respuesta no responde completamente a la pregunta, pero creo que puede responder a la pregunta tan bien como es posible.

El artículo que escribió Hankel (publicado en 1971) que Se le atribuye generalmente el "redescubrimiento" del trabajo de Bolzano fue un artículo en la sección 1 Theil 90 (Gregorius - Grezin) de Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste, una de las enciclopedias más grandes jamás escritas (que abarca 167 volúmenes a pesar de ser incompleto). Puede leer esta sección libremente aquí en Google Libros. El artículo de Hankel trata sobre "Grenze" ("límites").

El párrafo relevante sobre Bolzano está en las páginas 209-210, mientras se discute la historia del análisis. Proporcionaré una traducción aproximada en inglés moderno de este párrafo. Debo señalar que casi no sé alemán, por lo que la traducción es un montón de conjeturas y podría estar equivocado en algunos lugares. Cualquiera que sepa alemán debería sentirse libre de anotar errores.

Peor aún fue otro contemporáneo que permaneció entonces y ahora casi completamente desconocido entre los matemáticos: Tenemos que reclamar la prioridad del primer desarrollo riguroso en el serie de análisis algebraicos a favor del excelente Bernhard Bolzano. Las nociones de Bolzano de la convergencia de la serie están escritas con bastante claridad y corrección, sus operaciones con series infinitas todas estrictamente probadas, y nada está mal en el desarrollo de esos enunciados para argumentos reales, que él supone en todas partes. En el prefacio da una crítica adecuada de las derivaciones anteriores del teorema binominal y luego del uso ordinario irrestricto de series infinitas. En resumen, esta obra no era solo un arte francés, debía colocarse en este sentido al mismo nivel que Cauchy, y expresar sus pensamientos de una manera agradable. Pero Bolzano permaneció desconocido y pronto fue olvidado; Cauchy fue el afortunado, el elogiado como reformador de la ciencia y cuyos elegantes escritos en poco tiempo encontraron difusión general.

En este párrafo, Hankel básicamente le da crédito a Bolzano por haber desarrollado gran parte de los fundamentos del análisis independientemente de (y años antes) Cauchy. Sin embargo, el trabajo de Bolzano siguió siendo desconocido, mientras que Cauchy, que estaba bien conectado en los círculos matemáticos franceses, encontró fácil comunicar su trabajo. Hankel no menciona dónde o cómo encontró la obra de Bolzano.

Aquí conviene hacer algún comentario histórico. 1871 es un año significativo; específicamente, es el año en el que la guerra franco-prusiana, una época de fuerte orgullo nacional en Alemania y aversión generalizada a todo lo francés. La enciclopedia en la que Hankel estaba escribiendo tenía la intención de ser una especie de enciclopedia "para y por el pueblo alemán". Hankel seguramente no habría estado feliz de tener que darle el crédito de desarrollar el análisis a Cauchy, un francés. Era mucho mejor dárselo a Bolzano. Claro, Bolzano no era el matemático alemán ideal, ya que había pasado la mayor parte de su carrera académica en Austria y era tanto filósofo y teólogo como matemático (y, además, controvertido), pero sí hablaba y escribía en alemán. e igualmente importante, no era francés. Y Bolzano realmente hizo (en su mayor parte) las cosas que Hankel le atribuyó. Para ser claros, no estoy acusando a Hankel de ningún delito al señalar esto, solo digo que tenía un interés considerable en atribuir todo lo que pudo a Bolzano.

Sin embargo, hay algo de problema atribuir el desarrollo de límites en el análisis a Bolzano sobre Cauchy, aunque es más filosófico que matemático. Bolzano probablemente tuvo una interpretación de sus teoremas muy diferente a la de los lectores posteriores. De hecho, en "Las obras matemáticas de Bernard Bolzano", Steve Russ sostiene que Bolzano no habría pensado en sus teoremas en términos de límites en absoluto, que habría asociado con los mismos infinitos que estaba tratando de eliminar. De las páginas 146-147:

Sin embargo, el reconocimiento moderno de la obra de Bolzano plantea un problema histórico. Desde el artículo de Hankel en 1871 hasta los extractos de Bitkhoff (1973), los comentaristas se han inclinado a dar crédito particular a Bolzano por cuestiones que en ese momento vio bajo una luz muy diferente a la de estos críticos posteriores. Estamos pensando aquí en el concepto aritmético de límite y el concepto de convergencia de series infinitas que se adoptan comúnmente en la actualidad. Estos conceptos se habían utilizado de alguna forma durante mucho tiempo y, a juzgar por otros ejemplos de sus escritos, Bolzano no habría sido demasiado modesto para reclamarlos como nuevos y originales si los hubiera considerado así. No lo hace. Sin duda, tenía mucha confianza en estas definiciones; satisfacían sus requisitos conceptuales, sabía que serían fructíferos y eficaces en el desarrollo del análisis, pero nunca afirma que sean suyos ...

Comúnmente se asume que después de la introducción de cantidades etiquetadas como ω o Ω, posiblemente con subíndices, se describe en BL §14 y sigs. una teoría de límites bastante estándar. La ironía es que Bolzano, junto con la mayoría de sus contemporáneos, habría asociado límites con procesos infinitos (o cantidades infinitamente pequeñas). Y así, en este momento, se habría horrorizado de estar asociado con tal teoría. Se aplican observaciones similares a su trabajo sobre la convergencia de series. Creía que estaba tratando la serie binomial de exponentes negativos y racionales de una manera puramente finita. La forma en que usa sus ω cantidades, cantidades variables que pueden llegar a ser más pequeñas que cualquier cantidad dada, o que pueden llegar a ser tan pequeñas como nos plazca, naturalmente apela a un rango infinito de valores. Podríamos llamarlos "cantidades arbitrariamente pequeñas". Rusnock sugiere que ese concepto de una variable que puede llegar a ser tan pequeña como se desee era común en ese momento. Es una especie de contraparte de una cantidad variable física. Sugiere que las ω de Bolzano podrían interpretarse como rangos de valores que contienen cero ...

Es decir, que el juicio de Hankel sobre Bolzano como un descubridor independiente del La teoría rigurosa de los límites en el análisis, aunque correcta en términos de contenido matemático , es seguramente falsa si tomamos en cuenta los aspectos filosóficos de su trabajo. Pero, por supuesto, incluso si Hankel se dio cuenta de esto, tenía poco que ganar al señalarlo explícitamente en su artículo. En cualquier caso, ni los métodos de Bolzano ni sus teoremas fueron menos rigurosos que los de Cauchy; simplemente su interpretación de las definiciones y el contenido de los teoremas fue diferente.

En cualquier caso, notará que Hankel no mencionó específicamente a Bolzano-Weierstrass, ni el teorema del valor intermedio (que era el objetivo final de Bolzano, hacia el cual Bolzano-Weierstrass era solo un lema). Eso no es muy sorprendente. Si bien Hankel probablemente estaba al tanto del resultado de Weierstrass (se conocían bien, Hankel había trabajado con Weierstrass en Berlín en 1861 antes de su doctorado), probablemente era demasiado reciente para apreciar su importancia, especialmente en el contexto de este tipo de publicación. Ni siquiera está claro que Hankel haya leído las partes del trabajo de Bolzano relacionadas con el teorema del valor intermedio; las partes que cita en el artículo están en otra parte. Así que en realidad no fue Hankel quien estableció la prioridad de Bolzano aquí.

Después de la cita original de Hankel, algunos matemáticos volvieron y leyeron las diversas obras de Bolzano, reinterpretándolas en un lenguaje más moderno. A Otto Stolz en particular se le atribuye el redescubrimiento y la reedición de muchas de sus obras matemáticas en 1881. Esto incluyó el artículo relevante, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , que es anterior a Weierstrass e incluso Cauchy, estableciendo la prioridad de Bolzano para el teorema del valor intermedio y el teorema de Bolzano-Weierstrass. Varios otros matemáticos y filósofos alemanes influyentes también leyeron las obras de Bolzano, y se encontraron algunos otros resultados matemáticos interesantes. Su legado probablemente se cimentó en las diversas notas históricas de la muy influyente (al menos en Göttingen) Enzyklopädie der mathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, que mencionan su trabajo varias veces como muy adelantado a su tiempo.

Eso responde a la pregunta sobre Bolzano-Weierstrass, pero todavía queda una pregunta pendiente, a saber, cómo es que Hankel encontró a Bolzano en primer lugar (que era una gran parte de su pregunta original). No sé la respuesta a eso, y hasta donde yo sé, nadie la conoce. Quizás tenía algún concepto de que había una escuela de filosofía analítica de Europa del Este que a principios del siglo XIX se ocupaba de cuestiones relacionadas con los infinitos y no estaba contenta con el enfoque informal del cálculo de Leibniz. O tal vez, al escribir el artículo, tuvo una conversación con alguien (posiblemente alguien que estuviera familiarizado con el trabajo de Bolzano del período de la década de 1820 mencionado en el artículo que citó, o posiblemente ni siquiera un matemático) que sugirió que buscara en ese artículo. dirección. Hankel hizo una cantidad decente de estudios sobre la historia de las matemáticas (aunque sus obras históricas generalmente tenían errores notables), y también señaló la importancia del trabajo de Hermann Grassmann en 1867, dos décadas después de que Grassman esencialmente se detuviera haciendo matemáticas, por lo que ciertamente tenía una comprensión más amplia de las obras de sus predecesores que el matemático promedio de su tiempo. Cómo exactamente Hankel encontró a Bolzano es una incógnita, pero una vez que lo hizo, está bastante claro que no iba a ignorarlo en su artículo, independientemente de lo que Bolzano hizo / no pensó sobre cómo interpretar sus resultados. Hankel murió en 1873, solo 2 años después de la publicación del artículo, y hasta donde yo sé, nunca volvió a comentar sobre el trabajo de Bolzano. Si bien uno podría ser capaz de rastrear los movimientos de varios matemáticos desde 1817 hasta 1871 para tratar de descubrir cómo la idea podría haberse transmitido a Hankel (una tarea aparentemente hercúlea, aunque no técnicamente imposible), en el mejor de los casos terminaríamos con una suposición, y es muy posible que la verdad se pierda en la historia.



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
Loading...