Pregunta:
¿De qué forma existe hoy el campo de las metamatemáticas?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Estaba reescribiendo el artículo de Wikipedia para metamatemáticas y fue muy difícil encontrar referencias después de la década de 1930. Las obras más importantes parecen haber sido el teorema de completitud e incompletitud de Gödel.

¿Existe un campo de las matemáticas hoy en día que sea el sucesor espiritual de las metamatemáticas como lo estudiaron Gödel, Hilbert y los autores de Principia Mathematica?

¡Me gusta esta pregunta porque excluye el uso de wikipedia para la respuesta! :)
Ha pasado un tiempo desde que leí GEB ("Godel Escher Bach"; Hofstadter) pero esto podría dar una pista o ¿termina con Turing (es decir, no lejos de Godel!)?
Un voto positivo por tratar de abordar este tema en Wikipedia.
Dos respuestas:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Hoy en día, la metamatemática es una parte estándar del panorama de la lógica matemática.

Por un lado, la mayoría de los trabajos sobre los fundamentos de las matemáticas probablemente deberían considerarse metamatemáticas. La base estándar es la teoría de conjuntos, siendo ZFC y sus variantes las formalizaciones habituales. Pero esta no es ni mucho menos la única opción y, por ejemplo, hay un trabajo reciente sobre lo que ahora llamamos fundamentos univalentes basados ​​en la teoría abstracta de homotopía. En cierto sentido, esto quizás esté más cerca de Principia que de ZFC, ya que la teoría de tipos juega un papel importante. Por otro lado, el enfoque es realmente teórico de categorías, y las categorías no estaban realmente concebidas en la época de los Principia. Aunque este nuevo enfoque está recibiendo mucha atención, la comunidad de lógicos en general apenas está comenzando a comprender su alcance y posibilidades. Una serie reciente de hilos en la lista de correo electrónico de FOM (fundamentos de las matemáticas) ilustra la tensión actual.

Una gran parte de la investigación en áreas estándar de lógica matemática se basa en consideraciones metamatemáticas , aunque no en el sentido de fundamentos revisados.

Por ejemplo, las matemáticas inversas (también mencionadas en otra respuesta) estudian la cuestión de qué axiomas de existencia de conjuntos son realmente necesarios para los argumentos matemáticos estándar. Los resultados típicos aquí argumentan que un teorema estándar (como el teorema del valor intermedio en el análisis clásico) es equivalente o, al menos, implica (sobre una teoría de fondo razonablemente débil donde tiene lugar la discusión) un axioma abstracto de "existencia" (por ejemplo, cada árbol binario infinito tiene una rama infinita) o una instancia de inducción matemática.

La teoría de la prueba se ocupa de las teorías como objetos matemáticos y estudia su fuerza, basándose en la longitud de las pruebas (adecuadamente definidas) en comparación con algunas opciones estándar, o en formas más sutiles (como las consideraciones de la llamada prueba -ordenales teóricos). Por ejemplo, dentro de la aritmética de Peano, el sistema estándar de axiomas de primer orden para la teoría de números, podemos definir fácilmente las máquinas de Turing, la formalización habitual de los "programas de computadora". Entonces podemos establecer si una relación binaria < 'sobre los números naturales es recursiva, lo que significa que existe un algoritmo (una máquina de Turing) que puede decidir entre cualquier par de números n, m, si n<'m o no. Muchas relaciones recursivas están en realidad bien ordenadas, y dada tal relación R y una teoría T (ampliando la aritmética de Peano) podemos preguntarnos si T puede prive de que R es una buena ordenación. En general, la longitud de los ordenamientos de pozos demostrables es significativamente pequeña, en comparación con la longitud de todos los ordenamientos de pozos recursivos. Luego, podemos comparar teorías comprobando cuáles pueden probar la ordenabilidad de los pozos más largos (recursivos). Según esta descripción, esto parece un poco excéntrico, pero está estrechamente relacionado con la inducción transfinita que la teoría puede formalizar y probar, por lo que estos ordinales de teoría de la prueba son en realidad criterios muy razonables del poder de expresión y fuerza de las teorías.

En la teoría de conjuntos, uno de los temas estándar es la comparación de la fuerza de consistencia de las teorías. A partir del trabajo de Goedel, sabemos que una teoría razonable T no puede probar su propia consistencia, por lo que si una teoría T logra probar la consistencia de una teoría S, esto nos da una forma natural en la que T es más fuerte que S. La fuerza de consistencia resultante la jerarquía es un objeto matemático fascinante. Resulta que para las extensiones naturales T de ZFC, tendemos a ser capaces de identificar un axioma cardinal grande que cuando se agrega a ZFC da como resultado una teoría equivalente a T. Esto nos da un gran compañero cardinal de T, y el estudio puramente matemático de grandes cardenales luego refleja el estudio de las fortalezas de las teorías. Que exista tal cosa es notable. La teoría del modelo interno es el área de la teoría de conjuntos que se ocupa más directamente de tratar de explicar este fenómeno. La identificación real del compañero de una teoría, por otro lado, es hoy en día una cuestión principalmente combinatoria, gracias al desarrollo de Cohen del método de forzamiento.

Las referencias sobre cimientos univalentes se pueden encontrar aquí y aquí. En matemáticas inversas, consulte, por ejemplo, aquí además del enlace que se proporciona en la otra respuesta. Sobre la teoría de la prueba, consulte aquí. Para conocer la jerarquía de fuerza de coherencia en la teoría de conjuntos, consulte aquí, aunque también son relevantes muchos artículos y charlas de John Steel. Además, muchas de mis publicaciones en MathOverflow y Math.Stackexchange están relacionadas con este tema. Permítanme destacar este.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Hay varios trabajos más recientes sobre temas que pueden considerarse metamatemáticas.

Por ejemplo, Harvey Friedman inició Matemáticas inversas a mediados de los años setenta.

Recientemente, hubo bastante entusiasmo en torno a la Teoría de tipos de homotopía y bases univalentes, no solo sino también porque se relaciona muy bien con el esfuerzo de tener una prueba automáticamente verificable.

Y, no hace falta decirlo, hay varios otros trabajos en la teoría de la prueba y otras ramas de la lógica matemática. El problema que puede estar percibiendo es lo que se expresa en una respuesta en MathOverflow a una pregunta sobre metamatemáticas; los problemas todavía se estudian, pero ya no se perciben como meta -matemáticas, sino más bien como "simplemente matemáticas normales".

Tomar su pregunta en una dirección algo diferente podría argumentar que los esfuerzos para hacer que cada vez más matemáticas sean susceptibles de verificación formal a través de asistentes de prueba o incluso demostración automática de teoremas es una continuación tan natural y actual del esfuerzo inicial por formalizar las matemáticas.



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
Loading...