Pregunta:
¿Cuál fue la conexión entre David Hilbert y Stefan Banach?
Tom Au
2014-10-29 03:14:16 UTC
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El llamado "espacio de Hilbert" lleva el nombre del matemático David Hilbert. Más tarde, Stefan Banach lo generalizó en "espacios de Banach".

Tengo entendido que Hilbert era alemán y Banach era polaco, y no parecía haber ningún "importante "conexión entre ellos (es decir, no más que entre dos matemáticos europeos" al azar ", aunque este era un círculo muy pequeño en ese momento). Sin embargo, existe una conexión bastante fuerte entre el trabajo de Hilbert y el trabajo de Banach.

¿Cómo se las arregló Banach para despegar en el trabajo de Hilbert sin conocerlo bien? (Por ejemplo, Banach parece haber estado mucho más cerca de Hugo Steinhaus del teorema de Banach-Steinhaus). ¿O los dos trabajaron juntos / se conocieron mejor de lo que les he dado crédito?

Tres respuestas:
#1
+14
Michael Weiss
2014-10-30 21:36:24 UTC
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Vale la pena señalar que la definición abstracta de un espacio de Hilbert (como un espacio completo de producto interno) no se debe a Hilbert. Weyl relata la historia en su ensayo conmemorativo, "David Hilbert y su trabajo matemático" (Bull. Amer. Math. Soc. V.50 p.612-654). En su trabajo sobre ecuaciones integrales, Hilbert investigó solo un espacio de Hilbert particular: el espacio de secuencias infinitas sumables al cuadrado. No utilizó la integración de Lebesgue; Sólo más tarde Riesz y Fischer mostraron la equivalencia con las funciones cuadráticas integrables de Lebesgue. Weyl agrega:

Menciono estos detalles porque el orden histórico de los eventos puede haber caído en el olvido con muchos de nuestros matemáticos más jóvenes, para quienes el espacio de Hilbert ha asumido esa connotación abstracta que ya no distingue entre el dos realizaciones ...

(También hay una historia apócrifa de que Hilbert asistió a una conferencia y al final se le ocurrió preguntarle al orador: "¿Qué es un espacio de Hilbert?")

Banach, por el contrario, dio la formulación abstracta de los espacios de Banach en su disertación, junto con su motivación:

Este trabajo actual tiene el objeto de establecer ciertos teoremas que se sostienen en varios ramas de las matemáticas, que se detallarán más adelante. Sin embargo, para no probar estos teoremas para cada rama individualmente, lo que sería muy tedioso, he optado por un camino diferente, que es este: considero de manera general conjuntos de elementos para los que postulo ciertas propiedades. De estos deduzco teoremas y luego demuestro para cada rama separada de las matemáticas que los postulados adoptados son verdaderos.

En otras palabras, Banach busca economía de prueba a través del método axiomático. Por tanto, su motivación es completamente diferente a la de Hilbert.

Para volver a su pregunta original: no he podido descubrir ninguna conexión personal entre Hilbert y Banach. El nombre "Banach" no aparece en el índice de la biografía de Constance Reid Hilbert ; la entrada MacTutor para Hilbert no contiene "Banach", y la entrada MacTutor para Banach contiene solo una aparición de Hilbert, donde señala que el trabajo de Banach "generalizó las contribuciones hechas por Volterra, Fredholm y Hilbert sobre ecuaciones integrales".

Sin embargo, esa frase es probablemente una explicación suficiente. Hilbert hizo su trabajo sobre ecuaciones integrales a principios del siglo XX, y pronto Riesz, Fischer, Schmidt y otros lo desarrollaron más. La tesis de Banach se escribió en 1920. No es de extrañar que, al entrar en este campo, Banach prestara mucha atención al trabajo publicado relevante por uno de los matemáticos más destacados del momento.

Hacer hincapié en que Hilbert, de hecho, no estudió "sus" espacios de manera abstracta es realmente un buen punto a destacar.
... aunque creo que esta es una lectura interesante, y vale la pena conservarla, * no * responde a la pregunta. ¿Puede ampliar su respuesta para abordar realmente la pregunta principal del OP?
Bien, he añadido dos párrafos.
#2
+9
quid
2014-10-30 01:27:59 UTC
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Hasta donde yo sé, no existe una conexión particular entre Hilbert y Banach. Por supuesto, Hilbert, siendo uno de los matemáticos más dominantes de la época, su influencia se extendió ampliamente.

Sin embargo, también sería incorrecto considerar primero a Hilbert y luego a Banach como una sucesión directa. Hubo varias influencias y contribuyentes en el desarrollo de lo que ahora son espacios de Banach. [De hecho, la noción fue introducida casi en paralelo por otros, también, Wiener en particular. (Banach fue el que mejor aprovechó y obtuvo el "crédito de nombre")] Otros nombres que se podrían mencionar además de Hilbert incluyen Fredholm, Riesz, Fischer, Fréchet, Lebesgue.

A saber, la cronología en la Historia de los espacios de Banach de Pietsch y los operadores lineales tiene 12 entradas (a partir de 1902) antes de la tesis de Banachs en 1920.

En este contexto, también puede ser digno de mención que Banach visitó París en 1924-1925.

#3
  0
Margaret Friedland
2020-07-12 07:41:42 UTC
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No hay registro conocido de ningún encuentro personal entre Banach y Hilbert. Pero la conexión no tan aleatoria entre los dos fue Hugo Steinhaus (el descubridor de Banach, y más tarde colaborador y colega), quien fue un estudiante de doctorado de Hilbert en G "ottingen. La tesis de Steinhaus, titulada {\ it Neue Anwendungen des Dirichlet'schen Prinzips} y defendió en 1911, todavía era bastante tradicional en su enfoque de los problemas variacionales para ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.

Por otro lado, la tesis doctoral de Banach {\ it O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do r'owna'n ca \ l kowych} [Sobre operaciones sobre conjuntos abstractos con aplicaciones a ecuaciones integrales] defendida en Lw'ow en 1920, introdujo nociones y propiedades fundamentales de espacios lineales normalizados completos (de manera axiomática), y las aplicó a operadores integrales definidos por kernels. La tesis actual de Banach y su defensa se convirtió en materia de leyendas, pero al menos hay una publicación basada en la tesis, S. Banach, {\ it Sur les op'erations dans les ensembles abstracts et leur ap plication aux 'ecations int'egrales}, Fundamenta Mathematicae3 (1922), págs. 133-181 ( http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/oeuvres2/305.pdf) En la introducción, Banach menciona trabajos anteriores sobre `` operaciones funcionales '' de Volterra, Fre'echet, Hadamard, F.Riesz, Pincherle, Steinhaus, Weyl, Lebesgue y otros. En particular, da crédito a las obras de Hilbert, que según él permitieron el tratamiento de (los espacios de) funciones cuadradas integrables, no solo funciones suaves. Esto también es evidencia de que Banach estudió las obras de Hilbert antes de visitar París.

Además, en 1917, Banach y Steinhaus vivieron en Cracovia y participaron en reuniones de una sociedad matemática informal. Otros miembros de este grupo fueron los matemáticos Wlodzimierz Stozek, Wladyslaw Slebodzinski, Leon Chwistek (también filósofo y pintor) y el físico Jan Norbert Kroo, todos los cuales pasaron algún tiempo estudiando en G "ottingen.



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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