Pregunta:
¿Qué motivó a Cantor a inventar la teoría de conjuntos?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
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No puedo imaginar las matemáticas sin conjuntos, pero creo que la pregunta "cómo eran las matemáticas antes de que existieran los conjuntos" no tiene respuesta. En cambio, una buena respuesta a la pregunta del título debe cubrir cierto aspecto de la pregunta más general.

Creo que también estaba en juego la idea de fundar la base de las matemáticas. No estoy seguro si Cantor es nuevo sobre esto.
No sé si este enlace ya se proporciona en este hilo, pero creo que debería compartirlo aquí. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Gracias @ankit,, es un artículo muy bonito y absolutamente relevante.
Por supuesto, no se pueden imaginar las matemáticas sin conjuntos: las matemáticas antes de la teoría formal de conjuntos no son lo mismo que "las matemáticas antes de que hubiera conjuntos". Como * algoritmos * existieron desde siempre, aunque su formalización no tiene 150 años, la gente siempre usaba intersecciones de colecciones (* conjuntos *) y así sucesivamente.
Tres respuestas:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
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Una motivación inmediata de Cantor para trabajar en lo que se convirtió en la teoría de conjuntos fue su trabajo anterior sobre series trigonométricas. Para resolver un problema en ese dominio, consideró el conjunto (un conjunto cerrado) de ceros de dicha función, luego el conjunto derivado de este conjunto, el conjunto derivado de este conjunto y así sucesivamente. Todo esto sigue siendo clásico, pero luego tuvo que ir un paso más allá para considerar primero la intersección de todos estos conjuntos, y luego el conjunto derivado de ese conjunto y así sucesivamente.

Así que llegó a considerar los ordinales transfinitos.

Esto se discute en varios lugares, incluyendo "Teoría de conjuntos y unicidad de las series trogonométricas" de Kechris o " Unicidad de las series trigonométricas y la teoría de conjuntos descriptiva, 1870-1985 "de Roger Cooke (Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, 1993)

El artículo original es (creo) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math . Annalen, 1872) "

Otra motivación fue su trabajo anterior sobre la teoría de números. Usando lo que ahora se llama un argumento de diagonalización, pudo probar resultados sobre la existencia de números trascendentales. Esto está en su artículo de 1874 "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales")

En resumen, la motivación original era tener mejores herramientas por avanzar en los problemas existentes.

¿Tiene referencias para el primer punto?
Agregué algunas referencias.
Además de las referencias que sugiere, el lugar estándar para leer sobre esto es el prefacio de Jourdain a su traducción de Cantor's Math. Memorias de Annalen, [* Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
La discusión más detallada que conozco en inglés para los artículos de la serie trigonométrica de Cantor es * El trasfondo trigonométrico de la teoría de conjuntos de Georg Cantor * de Dauben. Con respecto a la extensión de Cantor del argumento de la contabilidad de los racionales a los números algebraicos, esto se originó en Dedekind en cartas a Cantor. Las traducciones al inglés de las cartas relevantes se encuentran en las páginas 844-850 del libro de Ewald (referencia ** [7] ** [aquí] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on -infinito-influencia-cantor)). Véanse también las págs. 177-186 del libro de Ferreirós de 1999 y su Historia Math de 1993. papel.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
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En realidad, Cantor estaba trabajando en un problema específico de la teoría de las series trigonométricas, el llamado problema de unicidad (no puedo ser más específico hasta que se presente MathJax en este sitio). Este problema lo llevó a considerar conjuntos arbitrarios en la línea real. Me refiero a conjuntos más complicados que conjuntos finitos o unión finita de intervalos. En ese momento no había herramientas ni terminología para estudiar conjuntos arbitrarios, por lo que todo esto tuvo que ser creado.

En el proceso de este estudio creó no solo la teoría de conjuntos sino también lo que ahora se llama Topología general. . (Es interesante notar que el problema original sobre las series trigonométricas no tiene una solución completa hasta el día de hoy :-)

El método original de prueba, el llamado "procedimiento diagonal" se remonta al predecesor de Cantor, Paul du Bois Reymond, que también estudiaba series trigonométricas.

Perdón por los detalles, pero es la segunda vez que lo noto: MathJax no MathJack.
Asimismo, el procedimiento diagonal surgió en un escenario ajeno al estudio de las series trigonométricas. [Aquí] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) hay algunos detalles. Y [aquí] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) hay una cita de Hardy que quizás explique por qué du Bois-Reymond no es más conocido.
Tienes toda la razón. Se utilizó el procedimiento diagonal para las preguntas de tipo "órdenes de infinito". Pero du Bois-Reymond también estudió las series trigonométricas, solo una coincidencia interesante :-)
@quid: ¡Gracias! De hecho, puede editar el texto cuando detecte errores de impresión.
Desafortunadamente, todavía no tengo suficientes puntos aquí para editar, y para las ediciones sugeridas hay un límite de caracteres.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
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Según el propio Cantor, su deseo era reemplazar la explicación mecánica de la naturaleza por una teoría más completa. Vea varios aspectos en ¿Qué afirmaciones de Cantor se han hecho realidad??



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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