Pregunta:
¿Qué resultados de la teoría de grupos se conocieron para varios casos especiales antes de que se estableciera la definición general de grupo?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
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Se probaron muchos resultados en teoría de grupos para grupos de permutación antes de que se estableciera la definición general de un grupo (por ejemplo: teorema de Lagrange, teoremas de Sylow). Sin embargo, los grupos de permutación no fueron los únicos grupos que se estudiaron en el siglo XIX, también hubo grupos de transformaciones geométricas y grupos que surgieron de la teoría de números (realmente no puedo dar más detalles porque francamente no conozco los detalles).

¿Se conocían los resultados de la teoría de grupos general para varios casos específicos distintos de los grupos de permutación, antes de que se formulara la definición general de un grupo? Pregunto porque me pregunto si tales "coincidencias" podrían haber motivado la definición general de un grupo. Como ejemplo, el teorema de Lagrange se conocía en el siglo XIX tanto para los grupos de permutación como para el grupo multiplicativo de $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (a través de Euler).

Probablemente valga la pena señalar (aunque seguramente lo sepa) que cualquier resultado puramente de la teoría de grupos que pueda probarse para grupos de permutación es válido para grupos abstractos mediante el teorema de Cayley.
La insolubilidad de polinomios de quinto orden por radicales fue probada antes de Galois hasta donde yo sé. Él sentó las bases para el caso general. Se podría argumentar cuán teórico de grupos es esto.
Dos respuestas:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
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El artículo The Abstract Group Concept, del archivo de McTutor, da una explicación de los pasos hacia la definición abstracta moderna. En resumen, Cayley hizo los primeros intentos fallidos (citando explícitamente la ley asociativa) en un artículo de 1854, pero no fue hasta 1895 cuando Weber dio la definición moderna, en su Lehrbuch der Algebra . Weber incluyó grupos infinitos.

En cuanto a la pregunta original: aparte del teorema de Lagrange que mencionas, no conozco ningún caso en el que la definición abstracta unificara resultados separados previos. La definición abstracta no parece haber sido motivada por este deseo. Sin embargo, es cierto que los grupos de Lie se inspiraron directamente en los grupos de permutación de Galois y el deseo de Lie de desarrollar una teoría de ecuaciones diferenciales análoga a la teoría de Galois.

También parece plausible que Weber, al escribir un texto completo sobre álgebra, vio la posibilidad de unir nociones dispares. Pero eso es solo una conjetura de mi parte.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
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"Casi todo" se encontró antes de que se estableciera la definición moderna general de un grupo :-) No estoy seguro de quién dio la primera definición del grupo abstracto (como un conjunto con una operación que satisface tales axiomas). Pero probablemente esto sucedió en el siglo XX (a varias personas se le atribuye esto). Para los matemáticos del siglo XIX, un grupo era un grupo de transformaciones de un conjunto en sí mismo. Y los primeros resultados profundos pertenecen a Lagrange y Galois.

A Cayley generalmente se le atribuye la definición abstracta de un grupo. Supongo que en el mismo artículo de 1854 donde demostró el teorema de Cayley.
@Michael Weiss: ¿Puede dar una referencia sobre el artículo de Cayley? ¿Consideró solo grupos finitos o arbitrarios? Si esto es así, entonces todos los resultados antes de 1854 fueron probados antes de la definición general de grupo. Más notablemente, la teoría de Galois.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Yo mismo no he leído el artículo, de ahí mi redacción del comentario.
@Michal Weiss: bueno, leí la primera página y confirma lo que dije: para Cayley los ELEMETNS del grupo son "operaciones", o "transformaciones", más bien los elementos de algún conjunto abstracto :-) No creo que nadie haya usado " establece "sistemáticamente ante Cantor.
Tienes razón, aunque si lees el resto del artículo lo encontrarás buscando a tientas el concepto moderno. Mientras tanto, encontré el artículo de archivo de McTutor que describe el desarrollo del concepto abstracto.


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