Pregunta:
Concepto de función e Idea de fórmula como función
Kenny LJ
2014-11-04 21:52:26 UTC
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Enderton Elementos de la teoría de conjuntos , p. 43 (1977, Academic Press), escribe:

Hubo una renuencia a separar el concepto de función en sí de la idea de una fórmula escrita que defina la función.

¿Cuál es la base de la afirmación histórica anterior? ¿Y en qué punto se separó firmemente el concepto de función en sí de la idea de fórmula?

Parece interesante que lo que hoy se considera un error elemental tuviera una sólida base histórica.

Cita más completa de Enderton:

Enderton, p. 43

Esta pregunta se publicó originalmente en Math.SE.

Hasta donde yo sé, no hay base para la noción de que hubo "desgana" en un sentido literal. No creo que nadie se haya resistido nunca activamente a la generalización del concepto.
@JackM no obstante, creo que hay una historia interesante detrás de esto. Recuerdo a un matemático famoso que introdujo la noción formal de una función, bastante más tarde de lo que esperaba que se hiciera (pero no recuerdo los detalles).
Cuatro respuestas:
#1
+8
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-04 22:35:20 UTC
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Puede ver el historial del concepto de función.

Para Euler (1748):

una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma por la cantidad variable y números o cantidades constantes

es decir una función era una "expresión simbólica" que, recibido un valor como "entrada" nos permite calcular un valor de "salida" correspondiente.

Parece que está en Dirichelet (1837, pág. 135 ), que podemos encontrar la primera definición explícita del concepto de función como “correspondencia arbitraria”:

Si ahora es un finito único $ y $ correspondiente a cada $ x $ , y además de tal manera que cuando $ x $ varía continuamente en el intervalo de $ a $ a $ b $ , $ y = f (x) $ también varía continuamente, entonces $ y $ se llama una función continua de x para este intervalo.

No es en absoluto necesario aquí que $ y $ se dé en términos de $ x $ por la misma ley en todo el intervalo completo, y no es necesario que se considere como una dependencia expresada usando operaciones matemáticas [énfasis agregado].

#2
+7
Alexandre Eremenko
2014-11-05 08:48:19 UTC
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Recomiendo un excelente relato de Luzin en el Monthly: MR1615544, MR1613935 (American math Monthly 105 (1998), 1 59-67 y 3, 263-270.

Por lo general, se pasa por alto que no En realidad, hay varias nociones diferentes de función en las matemáticas modernas.Una es la definición de Dirichlet que se suele citar (donde se dan dos conjuntos X e Y, y una regla que a cada elemento de X pone en correspondencia un elemento de Y). Nótese que ¡X es parte de la definición!

Entonces, el problema del tipo "encuentra el dominio de $ \ log ((x-1) (x-2)) $ no tiene sentido desde el punto de vista de esto definición.

En el siglo XVIII, Euler entendía una función como una expresión analítica cuyo dominio no está dado de antemano. Esta noción diferente (de la definición de Dirichlet) no está "desactualizada". definición de una "función analítica". En términos generales, una "expresión analítica" tiene un "dominio natural de definición", que no se da de antemano. Y los problemas del tipo "encuentran el dominio o La definición "f" de una función analítica tiene perfecto sentido en las matemáticas modernas.

También hay otras nociones de funciones en las matemáticas modernas (funciones generalizadas o distribuciones), que tampoco encajan en la definición de Dirichlet. Además, estas funciones generalizadas están, en cierto sentido, más cerca de lo que los físicos e ingenieros entienden por función que la definición de Dirichlet.

Para cualquiera que esté interesado, publiqué una lista de 12 artículos sobre la evolución de la idea de función en mi respuesta a la pregunta matemática de StackExchange [¿Cuál era la notación para funciones antes de Euler?] (Http://math.stackexchange.com/questions/ 79613 / cuál-era-la-notación-para-funciones-antes-de-euler).
No conozco todos estos artículos pero conozco la mayoría de ellos. No te cuentan la historia DESPUÉS de mediados del siglo XIX. Y el concepto de función se desarrolló y modificó sustancialmente en el siglo XX.
@AlexandreEremenko: ¿Tiene una referencia a donde Dirichlet define una función para que consista en una regla que da una correspondencia entre conjuntos? En las definiciones dadas por Dirichlet que he visto, él llama a $ y $ la función (de $ x $).
#3
+1
Kenny LJ
2016-03-27 08:10:55 UTC
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Solo para agregar. Después de dar una definición estándar y moderna de la función, Stephen Abbott (en la página 7 de Comprensión del análisis ) señala:

Esta definición de función es más o menos la uno propuesto por Peter Lejeune Dirichlet (1805-1859) en la década de 1830. Dirichlet fue un matemático alemán que fue uno de los líderes en el desarrollo del enfoque riguroso de las funciones que estamos a punto de emprender. Su principal motivación fue desentrañar los problemas que rodean la convergencia de las series de Fourier. Las contribuciones de Dirichlet ocupan un lugar destacado en la sección 8.3, donde se presenta una introducción a la serie de Fourier, pero también encontraremos su nombre en varios capítulos anteriores a lo largo del camino. Lo importante en este momento es que vemos cómo la definición de función de Dirichlet libera el término de su interpretación como un tipo de "fórmula". En los años previos al tiempo de Dirichlet, el término "función" se entendía generalmente para referirse a entidades algebraicas como $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ o $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + 4} $. [La definición anterior] permite una gama mucho más amplia de posibilidades.

#4
+1
Michael Bächtold
2018-01-11 15:06:47 UTC
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No creo que sea tan claro como nos hace creer la opinión popular ("Euler pensó sólo en expresiones simbólicas, mientras que Dirichlet dio la definición moderna"). Considere, por ejemplo, esta definición de funciones del trabajo posterior de Euler, Institutiones calculi differentialis , 1755, Prefacio p.VI ::

Así cuando algunas cantidades dependen tanto de otras cantidades, que si las últimas cambian, las primeras experimentan cambios, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las últimas; esta definición se aplica bastante ampliamente, y todas las formas en que una cantidad podría ser determinada por otras están contenidas en ella. Por lo tanto, si $ x $ denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades, que dependen de $ x $ de alguna manera, o están determinadas por él, se denominan funciones de ella.

Los ejemplos son $ x ^ {2 } $, el cuadrado de $ x $, o cualquier otra potencia de $ x $, y de hecho, incluso las cantidades que se componen con estas potencias de alguna manera, incluso las trascendentales, en general, lo que dependa de $ x $ de tal manera que cuando $ x $ aumenta o disminuye, la función cambia. De este hecho surge una pregunta; es decir, si la cantidad $ x $ aumenta o disminuye, ¿cuánto cambia la función, si aumenta o disminuye?

En mi opinión, esto no es sustancialmente diferente de lo que dijo Dirichlet .

Además, Dirichlet nunca habló de conjuntos o del dominio o codominio de un mapa, ni llamó a la "regla" la función, como lo hace la definición moderna que se encuentra en todos los libros. Consulte también ¿Quién consideró por primera vez $ f $ en $ f (x) $ como un objeto en sí mismo y quién decidió llamarlo función?



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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