Pregunta:
¿Qué ejemplos llevaron a la definición moderna de espacio topológico?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
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Hoy en día, el lenguaje de los espacios topológicos a través de conjuntos abiertos es fundamental en muchas áreas diferentes de las matemáticas, y es un poco misterioso que el mismo formalismo capture con éxito una variedad tan amplia de comportamientos. Puedo pensar en varias razones independientes para inventar la definición de una topología, todas las cuales habrían estado en las pantallas de radar de los matemáticos en la época en que la definición se estaba considerando por primera vez a principios del siglo XX:

  1. Proporcionar una base para el programa Erlangen de Klein y el trabajo de Poincaré sobre los números de Betti y el grupo fundamental
  2. Para aclarar las bases del cálculo, p. ej. el papel de la compacidad en el teorema del valor extremo
  3. Distinguir entre varias nociones de convergencia de funciones (que llevan al análisis funcional)
  4. Dar significado a argumentos que involucran configuraciones "genéricas" en algebraico geometría

Tengo entendido que tomó bastante tiempo para que emergiera el formalismo moderno de los espacios topológicos, así que me pregunto qué resultados o ejemplos específicos fueron los más influyentes en su desarrollo. ¿Y qué aplicaciones modernas de la teoría solo se realizaron después de que maduró?

Creo que Volterra y algunos otros (a partir de mediados o finales de la década de 1880, creo) que empezaron a tratar de dar sentido a los métodos de cálculo de variaciones hablando de hacer cálculo con "funciones de curvas" (por ejemplo, su longitud) y la posterior unificación de Frechet. de estas ideas en su Ph.D. de 1906. tesis, tuvo mucho que ver con la evolución de las nociones de topología. Consulte también la pregunta matemática Stackexchange [Orígenes de la definición moderna de topología] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
Es una buena pregunta por qué se introduce la topología a través de conjuntos abiertos. Cuando me los presentaron en mi clase de física en la universidad, no parecían muy impresionados y la noción de conjuntos abiertos no era nada natural para ellos. De hecho, la topología se puede introducir mediante una generalización de límites, lo que espero que sea mucho más natural. Liebniz ya tenía la noción moderna de continuidad en forma embrionaria, creo.
Dos respuestas:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
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Creo que nuestra definición moderna de un espacio topológico proviene principalmente del libro de Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre (Fundamentos de la teoría de conjuntos), publicado por primera vez en 1914, 2ª ed. 1927. Hausdorff comenzó con espacios métricos, pero luego los generalizó.

Por supuesto, el trasfondo del trabajo de Hausdorff fue el trabajo 19 sobre la continuidad, y la llamada "aritmetización del análisis" --- el intento para poner el cálculo sobre una base lógica firme. Los nombres más importantes aquí son Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano y Cantor. Pero la axiomatización de la topología general en términos de conjuntos abiertos o cerrados se debe a Hausdorff.

La versión que escuché, de hecho, dice que fue Hausdorff. En la definición de una variedad, hay pequeños vecindarios mapeados biyectivamente para abrir bolas en el espacio euclidiano, de modo que donde se superponen, los mapas de transición son continuos en el espacio euclidiano. Luego, Hausdorff vio que en la definición de "función continua" de $ X \ a Y $, no era necesario que los vecindarios correspondieran a conjuntos en el espacio euclidiano, solo se podía decir para cada $ a \ en X $ y para cada vecindario $ B $ o $ f (a) $ en $ Y $ hay un vecindario $ A $ de $ a $ en $ X $ tal que $ f $ mapea $ A $ en $ B $. ...
... Entonces dijo: ¿qué pasa si tomamos esto como una ** definición ** de un tipo de espacio donde podemos definir "función continua"? Dio axiomas para esto, donde vecindarios de puntos era la noción primitiva. Más tarde, a otros se les ocurrieron otras definiciones, y el de Hausdorff resultó ser un caso levemente especial, y ahora se conoce como un "espacio de Hausdorff".
@GeraldEdgar Escuché la misma historia, con el giro de que estaba adaptando la definición de una variedad diferencial al caso continuo más general. También se suponía que Weyl estaba involucrado de alguna manera. Pero no he podido rastrear dónde leí esto. No pude encontrarlo en The Concept of a Riemann Surface de Weyl.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
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Los espacios topológicos parecen tener sus raíces en el siglo XIX . Comenzó, indirectamente, con la teoría de los límites y las pruebas delta-épsilon. Un gran avance ocurrió con el desarrollo de la teoría de conjuntos (por ejemplo, las leyes de DeMorgan) a mediados y finales del siglo. Esto llevó a la "generalización" de los axiomas de límite, convergencia y punto de acumulación utilizando la teoría de conjuntos abiertos y cerrados. La topología a veces se denomina teoría del "conjunto de puntos".

Las aplicaciones que cita llegaron "más tarde", es decir, en el siglo XX. También lo hicieron los llamados Axiomas de separación, que comenzaron con los espacios de Hausdorff en 1914 y se extendieron a mediados de siglo. Pero las bases de estas aplicaciones se establecieron en el siglo anterior.

Esto no responde en absoluto a la pregunta, que pide específicamente * ejemplos de espacios topológicos *. Tu respuesta no es del todo inútil, pero creo que sería mejor como comentario.
@JackM: En la pregunta, el OP preguntó "qué resultados o ejemplos específicos fueron los más influyentes ..." Respondí usando "resultados", no ejemplos. Es matemático y trabaja con "ejemplos". Soy historiador y trato con "líneas de tiempo". (Vea nuestras respectivas puntuaciones de reputación de SE). Desde una perspectiva histórica, "lo que llevó a" está bien respondido por resultados como "límites y pruebas delta-épsilon", así como la teoría de conjuntos. Así que mi respuesta se remonta al siglo XIX. Para algunas personas, ese "panorama general" puede ser tan útil como los ejemplos contemporáneos.


Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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